Considere a função f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}+5.
Determine os pontos de inflexīo de f.

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=3x^4 - 4x^3 + 5 e pede os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas de segunda ordem e análise de concavidade: ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e há troca de sinal de f''.

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x).
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x^4 - 4x^3 + 5\bigr) = 12x^3 - 12x^2.

Passo 3

Calcular a segunda derivada f''(x).
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(12x^3 - 12x^2\bigr) = 36x^2 - 24x = 12x(3x - 2).

Passo 4

Determinar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo f''(x)=0.
12x(3x - 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \quad\text{ou}\quad x = \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Verificar mudança de sinal de f''(x) em cada raiz:
Para x<0: 12x<0 e (3x-2)<0 f''>0 (concavidade para cima).
Para 0<x<\tfrac{2}{3}: 12x>0 e (3x-2)<0 f''<0 (concavidade para baixo).
Para x>\tfrac{2}{3}: 12x>0 e (3x-2)>0 f''>0 (concavidade para cima).
Logo há troca de concavidade em x=0 e em x=\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Calcular os valores de f(x) nesses pontos:
f(0)=3\cdot0^4-4\cdot0^3+5=5,
f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) =3\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^4-4\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3+5 =3\cdot\tfrac{16}{81}-4\cdot\tfrac{8}{27}+5 =\tfrac{48}{81}-\tfrac{32}{27}+5 =\tfrac{16}{27}-\tfrac{32}{27}+5 =-\tfrac{16}{27}+5 =\tfrac{119}{27}.

Resposta

Os pontos de inflexão de f são \bigl(0,5\bigr) e \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{119}{27}\bigr).

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