(Questão 01) (3 pontos) Encontre a série de potências representando a função real (justifique todas as contas que executar)
Posteriormente, determine o intervalo de convergência dessa série.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
ou seja, expressar
como
e depois determinar para quais
essa série converge. Para isso vamos usar decomposição em frações parciais e as séries geométricas conhecidas.
Passo 2
Fazemos a decomposição
Multiplicando por
vem
Comparando coeficientes de
e termo constante:
constante: ,
coeficiente de :
.
Da segunda equação ; substituindo na primeira,
, logo
e
. Portanto
constante:
coeficiente de
Da segunda equação
Passo 3
Usamos agora as séries geométricas:
Para ,
Para
Para
(isto é,
),
Passo 4
Substituindo as expansões em
, obtemos
Passo 5
A série resultante só faz sentido quando ambas as séries geométricas convergem, isto é
e
. A interseção desses intervalos é
.