(Questão 01) (3 pontos) Encontre a série de potências representando a função real (justifique todas as contas que executar)
f(x)=\frac{1}{(1-x)(1+2 x)}, \text { onde } x \text { é diferente de } 1 \text { e }-1 / 2é
Posteriormente, determine o intervalo de convergência dessa série.

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=\frac{1}{(1-x)(1+2x)},\quad x\neq 1,\;x\neq -\tfrac12
ou seja, expressar f(x) como \sum_{n=0}^\infty a_n x^n e depois determinar para quais x essa série converge. Para isso vamos usar decomposição em frações parciais e as séries geométricas conhecidas.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{1}{(1-x)(1+2x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+2x}.
Multiplicando por (1-x)(1+2x) vem
1 = A(1+2x)+B(1-x).
Comparando coeficientes de x e termo constante:
constante: A+B=1,
coeficiente de x: 2A - B=0.
Da segunda equação B=2A; substituindo na primeira, A+2A=1, logo A=\tfrac13 e B=\tfrac23. Portanto
f(x)=\frac{1/3}{1-x}+\frac{2/3}{1+2x}.

Passo 3

Usamos agora as séries geométricas:
Para \lvert x\rvert<1,
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.
Para \lvert -2x\rvert<1 (isto é, \lvert x\rvert<\tfrac12),
\frac{1}{1+2x}=\frac{1}{1-(-2x)}=\sum_{n=0}^\infty(-2x)^n=\sum_{n=0}^\infty(-2)^n x^n.

Passo 4

Substituindo as expansões em
\displaystyle f(x)=\tfrac{1}{3}\,\frac1{1-x}+\tfrac{2}{3}\,\frac1{1+2x}, obtemos
f(x) =\frac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty x^n +\frac{2}{3}\sum_{n=0}^\infty(-2)^n x^n =\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}(-2)^n\Bigr)x^n.

Passo 5

A série resultante só faz sentido quando ambas as séries geométricas convergem, isto é
\lvert x\rvert<1 e \lvert x\rvert<\tfrac12. A interseção desses intervalos é \lvert x\rvert<\tfrac12.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}(-2)^n\Bigr)x^n, \quad\text{para }\lvert x\rvert<\tfrac12.

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