(Questão 04) (3 pontos)

a) Encontre a série de Maclaurin para \operatorname{tg}^{-1}(x) e determine seu intervalo de convergência (todas as contas devem ser explicitadas).
b)
De acordo com o teorema da estimativa de séries alternadas, quantos termos da série de Maclaurin para \operatorname{tg}^{-1} 1 você teria de adicionar para ter certeza de que encontrou \pi / 4 com um erro menor que 10^{-3} ? Justifique a sua resposta.
\qquad

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de \operatorname{tg}^{-1}(x) (ou \arctan(x)) e seu intervalo de convergência; depois, usando o teorema da estimativa de séries alternadas, determinar quantos termos são necessários para aproximar \arctan(1)=\pi/4 com erro <10^{-3}. Vamos usar que
  1. a derivada de \arctan(x) é 1/(1+x^2),
  2. expandimos essa derivada em série de potência (geométrica),
  3. integramos termo a termo para obter a série de Maclaurin,
  4. aplicamos o teste da razão para o raio de convergência e verificamos os extremos,
  5. e finalmente usamos a estimativa de erro para séries alternadas no caso x=1.

Passo 2

Começamos pela derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^2}.
Para |x|<1 podemos usar a expansão de uma série geométrica com u=x^2:
\frac{1}{1+x^2} =\frac{1}{1-(-x^2)} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,x^{2n}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a x para voltar a \arctan(x), lembrando que \arctan(0)=0:
\arctan(x) =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a \displaystyle a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2n+3}}{2n+3}\cdot\frac{2n+1}{|x|^{2n+1}} =|x|^2<1,
logo R=1. Nos extremos x=1 e x=-1 a série alternada \sum(-1)^n/(2n+1) converge (por critério de Leibnitz) a \pi/4 e -\pi/4.
Portanto o intervalo de convergência é
-1\le x\le1.

Passo 4

Para x=1 temos a série
\arctan(1)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1} =\frac{\pi}{4}.
Pelo teorema da estimativa de séries alternadas, o erro ao truncar após N-ésimo termo em módulo é no máximo o próximo termo em módulo, isto é
|R_N|\le\frac{1}{2(N+1)+1}=\frac{1}{2N+3}.
Queremos \frac{1}{2N+3}<10^{-3}. Isso dá
2N+3>1000 \quad\Longrightarrow\quad N>\frac{997}{2}=498{,}5 \quad\Longrightarrow\quad N\ge499.
Assim precisamos somar até n=499, ou seja, 499+1=500 termos para garantir erro menor que 10^{-3}.

Resposta

a)
\operatorname{tg}^{-1}(x) =\arctan(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad\text{intervalo de convergência }[-1,1].ê
b) São necessários 500 termos para ter erro menor que 10^{-3} em \arctan(1)=\pi/4.

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