a) Encontre a série de Maclaurin para \operatorname{tg}^{-1}(x) e determine seu intervalo de convergência (todas as contas devem ser explicitadas).
b)
De acordo com o teorema da estimativa de séries alternadas, quantos termos da série de Maclaurin para \operatorname{tg}^{-1} 1 você teria de adicionar para ter certeza de que encontrou \pi / 4 com um erro menor que 10^{-3} ? Justifique a sua resposta. \qquad
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de \operatorname{tg}^{-1}(x) (ou \arctan(x)) e seu intervalo de convergência; depois, usando o teorema da estimativa de séries alternadas, determinar quantos termos são necessários para aproximar \arctan(1)=\pi/4 com erro <10^{-3}. Vamos usar que
a derivada de \arctan(x) é 1/(1+x^2),
expandimos essa derivada em série de potência (geométrica),
integramos termo a termo para obter a série de Maclaurin,
aplicamos o teste da razão para o raio de convergência e verificamos os extremos,
e finalmente usamos a estimativa de erro para séries alternadas no caso x=1.
logo R=1. Nos extremos x=1 e x=-1 a série alternada \sum(-1)^n/(2n+1) converge (por critério de Leibnitz) a \pi/4 e -\pi/4.
Portanto o intervalo de convergência é