Questão 03
A posição de um elétron que se move ao longo do eixo X é dada por
. No SI.
A) Qual a distância da origem está o elétron, quando está momentamente parado?
B) Qual função horária da aceleração do elétron?
A posição de um elétron que se move ao longo do eixo X é dada por
A) Qual a distância da origem está o elétron, quando está momentamente parado?
B) Qual função horária da aceleração do elétron?
Passo 1
O enunciado dá a posição do elétron ao longo do eixo
como sendo
no Sistema Internacional (portanto a unidade da posição é metro). O enunciado pede duas coisas:
A) Qual a distância da origem em que o elétron está quando está momentaneamente parado?
B) Qual a função horária da aceleração do elétron?
A) Qual a distância da origem em que o elétron está quando está momentaneamente parado?
B) Qual a função horária da aceleração do elétron?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função posição é
. - “Momentaneamente parado” significa velocidade instantânea igual a zero.
- Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; aceleração é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição).
- Trabalhamos no SI (posições em metros, tempos em segundos, aceleração em metros por segundo ao quadrado).
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (com explicação didática):
- Derivada: A velocidade instantânea
é a derivada de em relação a : . A aceleração é a derivada da velocidade: . - Regra do produto: Se temos duas funções
e , a derivada do produto é . Vamos usá-la porque envolve um produto. - Derivada da exponencial:
. Aqui usamos , então .
Vou aplicar essas regras passo a passo para achare depois .
Passo 3
Calcular a velocidade
.
Começo tirando o fator constante
para facilitar:
Aplicando a derivada:
Agora uso a regra do produto com
e
. Temos
e
. Então
Fatorando
:
Multiplicando pelo
:
Passo 4
Encontrar o tempo em que o elétron está momentaneamente parado: resolver
.
Temos
Explicação lógica:
é constante não nula e
para todo
real, então o produto só pode ser zero quando
. Portanto
Observação: estou assumindo o domínio físico
, e
está nesse domínio.
Passo 5
Calcular a posição do elétron no instante
para obter a distância da origem.
Substituo em
:
Como
, a distância da origem é simplesmente
. (Se fosse negativo, tomaríamos o valor absoluto para distância.) Valor aproximado se quiser:
.
Passo 6
Achar a função horária da aceleração
(segunda derivada de
).
Partimos de
. Novamente tiro o fator
:
Uso a regra do produto com
e
. Temos
e
. Aplicando:
Fatorando
:
Reescrevendo
. Multiplicando pelo
:
Unidades:
está em metros por segundo ao quadrado (
).
Passo 7
Comentário final rápido e motivador:
- Encontramos que o elétron fica momentaneamente parado em
e que nesse instante está a da origem. - A aceleração geral é
.
Você conseguiu chegar até aqui — relaxa, isso é exatamente o tipo de raciocínio pedido na prova: derivadas com regra do produto e raciocínio sobre zeros de funções exponenciais. Vai dar certo!
Resposta
A)
B)
B)