Questão 03
A posição de um elétron que se move ao longo do eixo X é dada por x(t)=16 t e^{-t}. No SI.
A) Qual a distância da origem está o elétron, quando está momentamente parado?
B) Qual função horária da aceleração do elétron?

Passo 1

O enunciado dá a posição do elétron ao longo do eixo x como sendo
x(t)=16\,t\,e^{-t},
no Sistema Internacional (portanto a unidade da posição é metro). O enunciado pede duas coisas:
A) Qual a distância da origem em que o elétron está quando está momentaneamente parado?
B) Qual a função horária da aceleração do elétron?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função posição é \;x(t)=16\,t\,e^{-t}\;.
  • “Momentaneamente parado” significa velocidade instantânea igual a zero.
  • Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; aceleração é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição).
  • Trabalhamos no SI (posições em metros, tempos em segundos, aceleração em metros por segundo ao quadrado).

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (com explicação didática):
  • Derivada: A velocidade instantânea \;v(t)\; é a derivada de \;x(t)\; em relação a \;t\;: \;v(t)=\dfrac{dx}{dt}\;. A aceleração \;a(t)\; é a derivada da velocidade: \;a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}\;.
  • Regra do produto: Se temos duas funções u(t) e w(t), a derivada do produto é \;(u\cdot w)'=u'\cdot w + u\cdot w'\;. Vamos usá-la porque \;x(t)=16\cdot\big(t\cdot e^{-t}\big)\; envolve um produto.
  • Derivada da exponencial: \;\dfrac{d}{dt}e^{kt}=k\,e^{kt}. Aqui usamos k=-1, então \;\dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}\;.
    Vou aplicar essas regras passo a passo para achar v(t) e depois a(t).

Passo 3

Calcular a velocidade \;v(t)=\dfrac{dx}{dt}\;.
Começo tirando o fator constante 16 para facilitar:
x(t)=16\big(t\,e^{-t}\big).
Aplicando a derivada:
v(t)=\dfrac{dx}{dt}=16\cdot\dfrac{d}{dt}\big(t\,e^{-t}\big).
Agora uso a regra do produto com u(t)=t e w(t)=e^{-t}. Temos u'(t)=1 e w'(t)=-e^{-t}. Então
\dfrac{d}{dt}\big(t\,e^{-t}\big)=u'(t)w(t)+u(t)w'(t)=1\cdot e^{-t}+t\cdot(-e^{-t})=e^{-t}-t\,e^{-t}.
Fatorando e^{-t}:
\dfrac{d}{dt}\big(t\,e^{-t}\big)=e^{-t}(1-t).
Multiplicando pelo 16:
v(t)=16\,e^{-t}(1-t).

Passo 4

Encontrar o tempo em que o elétron está momentaneamente parado: resolver \;v(t)=0\;.
Temos
16\,e^{-t}(1-t)=0.
Explicação lógica: 16 é constante não nula e \;e^{-t}>0\; para todo t real, então o produto só pode ser zero quando (1-t)=0. Portanto
1-t=0\quad\Rightarrow\quad t=1\\ \text{s}.
Observação: estou assumindo o domínio físico t\ge 0, e t=1 está nesse domínio.

Passo 5

Calcular a posição do elétron no instante \;t=1\; para obter a distância da origem.
Substituo em \;x(t)=16\,t\,e^{-t}\;:
x(1)=16\cdot 1\cdot e^{-1}=\dfrac{16}{e}\\ \text{metros}.
Como \;x(1)>0\;, a distância da origem é simplesmente \;\dfrac{16}{e}\\ \text{m}. (Se fosse negativo, tomaríamos o valor absoluto para distância.) Valor aproximado se quiser: \;\dfrac{16}{e}\approx 5{,}887\\ \text{m}.

Passo 6

Achar a função horária da aceleração \;a(t)=\dfrac{dv}{dt}\; (segunda derivada de x).
Partimos de \;v(t)=16\,e^{-t}(1-t)\;. Novamente tiro o fator 16:
a(t)=\dfrac{dv}{dt}=16\cdot\dfrac{d}{dt}\big(e^{-t}(1-t)\big).
Uso a regra do produto com u(t)=e^{-t} e w(t)=1-t. Temos u'(t)=-e^{-t} e w'(t)=-1. Aplicando:
\dfrac{d}{dt}\big(e^{-t}(1-t)\big)=u'(t)w(t)+u(t)w'(t)=(-e^{-t})(1-t)+e^{-t}(-1).
Fatorando -e^{-t}:
(-e^{-t})(1-t)+e^{-t}(-1)=-e^{-t}(1-t)-e^{-t}=-e^{-t}\big(1-t+1\big)=-e^{-t}(2-t).
Reescrevendo -e^{-t}(2-t)=e^{-t}(t-2). Multiplicando pelo 16:
a(t)=16\,e^{-t}(t-2).
Unidades: \;a(t)\; está em metros por segundo ao quadrado ( \text{m/s}^2).

Passo 7

Comentário final rápido e motivador:
  • Encontramos que o elétron fica momentaneamente parado em \;t=1\\ \text{s} e que nesse instante está a \dfrac{16}{e}\\ \text{m} da origem.
  • A aceleração geral é \;a(t)=16\,e^{-t}(t-2).
    Você conseguiu chegar até aqui — relaxa, isso é exatamente o tipo de raciocínio pedido na prova: derivadas com regra do produto e raciocínio sobre zeros de funções exponenciais. Vai dar certo!

Resposta

A) \dfrac{16}{e}\\ \text{m}
B) \;a(t)=16\,e^{-t}(t-2)\\ \text{m/s}^2

Exercícios relacionados