Três vetores são dados por:
\vec{A}=3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}-2,0 \hat{k}, \quad \vec{B}=-1,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k}, \quad \vec{C}=2,0 \hat{i}+2,0 \hat{j}+1,0 \hat{k}
Determine:
\vec{A} \cdot(\vec{B}+\vec{C})

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para calcular \vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C}). As informações relevantes são:
\vec{A}=3,0\hat{i}+3,0\hat{j}-2,0\hat{k},
\vec{B}=-1,0\hat{i}-4,0\hat{j}+2,0\hat{k},
\vec{C}=2,0\hat{i}+2,0\hat{j}+1,0\hat{k}.
A pergunta específica é: qual é o valor de \vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})?

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que precisamos: produto escalar (dot product) em coordenadas. Para dois vetores \vec{U}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{V}=(v_1,v_2,v_3) a definição componente a componente é
\vec{U}\cdot\vec{V}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{U} nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k} e v_1,v_2,v_3 são as de \vec{V}. Outra propriedade útil, que vamos usar como verificação, é a distributividade:
\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}.
Vou usar o cálculo componente a componente (o mais direto) e depois mostrar a verificação pela distributividade para você entender bem.

Passo 3

Primeiro calculemos \vec{B}+\vec{C} componente a componente (isto é, somar as componentes nas mesmas direções). Usando os dados do enunciado:
componente \hat{i}: -1,0+2,0=1,0,
componente \hat{j}: -4,0+2,0=-2,0,
componente \hat{k}: 2,0+1,0=3,0.
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\vec{B}+\vec{C}=1,0\hat{i}-2,0\hat{j}+3,0\hat{k}.

Passo 4

Agora aplicamos a definição do produto escalar entre \vec{A} e \vec{B}+\vec{C}. Escrevendo as componentes:
\vec{A} tem componentes 3,0 (em \hat{i}), 3,0 (em \hat{j}) e -2,0 (em \hat{k});
\vec{B}+\vec{C} tem componentes 1,0, -2,0, 3,0.
Pelo produto escalar:
\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=3,0\cdot1,0+3,0\cdot(-2,0)+(-2,0)\cdot3,0.
Calculemos termo a termo:
3,0\cdot1,0=3,0,
3,0\cdot(-2,0)=-6,0,
(-2,0)\cdot3,0=-6,0.
Somando:
3,0-6,0-6,0=-9,0.

Passo 5

Para reforçar a ideia e checar o resultado, verificamos pela distributividade: calcule \vec{A}\cdot\vec{B} e \vec{A}\cdot\vec{C} separadamente e some.
\vec{A}\cdot\vec{B}=3,0\cdot(-1,0)+3,0\cdot(-4,0)+(-2,0)\cdot2,0=-3,0-12,0-4,0=-19,0,
\vec{A}\cdot\vec{C}=3,0\cdot2,0+3,0\cdot2,0+(-2,0)\cdot1,0=6,0+6,0-2,0=10,0.
Somando -19,0+10,0=-9,0, que coincide com o resultado anterior. Boa — está consistente.

Resposta

-9,0

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