Questão 03) Resolva a EDO abaixo usando o método de soluções de EDO exatas.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. A equação diferencial dada é
O que se pede: encontrar a solução geral da EDO usando o método de equações exatas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos identificar a forma diferencial
com - A solução procurada é a solução implícita (ou explícita se possível) que contém uma constante arbitrária.
Passo 2
Princípio do método (explicação didática). Uma equação diferencial do tipo
é exata se existe uma função
tal que
Isto significa que
Um teste prático para exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Se isso ocorrer, existe
e a solução geral é
. Explicação dos símbolos:
-
é a derivada parcial de em relação a mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a mantendo fixo. - A constante
é a constante de integração que determina a família de curvas solução.
Passo 3
Aplicar o teste de exatidão. Calcular as derivadas parciais necessárias:
Como
a equação é exata (as derivadas parciais existem e são contínuas para todos
). Portanto existe
com
e
.
Passo 4
Construir
integrando
em relação a
. Integramos
tratando
como constante:
Detalhando as integrais:
-
porque a primitiva de é . - Como
é constante na integração em , .
Somando e adicionando uma função arbitrária de(pois a derivação em anula essa função), obtemos
onde
é uma função desconhecida de
que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Determinar
impondo
. Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Pelo requisito da exatidão, deve valer
. Portanto
Subtraindo
dos dois lados segue
Integrando em
obtemos
onde
é uma constante.
Passo 6
Escrever a solução geral usando
. Substituindo
em
temos, até uma constante,
A solução implícita da EDO é dada por
. Eliminando
entre as constantes, a solução geral pode ser escrita como
onde
é a constante arbitrária da família de soluções. Observação: é uma solução implícita; isolar
em função de
exige resolver uma equação transcendental e normalmente não é necessário para a prova.
Passo 7
Verificação rápida (checagem). Diferenciando implicitamente
obtemos
que se reagrupa em
idêntica à equação original — portanto a solução está correta.