Questão 03) Resolva a EDO abaixo usando o método de soluções de EDO exatas.
(2 x+\operatorname{sen} y) d x+x \cos y d y=0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. A equação diferencial dada é
(2x+\sin y)\,dx + x\cos y\,dy = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral da EDO usando o método de equações exatas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos identificar a forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=2x+\sin y,\qquad N(x,y)=x\cos y.
  • A solução procurada é a solução implícita (ou explícita se possível) que contém uma constante arbitrária.

Passo 2

Princípio do método (explicação didática). Uma equação diferencial do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
d\Phi = \Phi_x\,dx + \Phi_y\,dy = M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy.
Isto significa que
\Phi_x=M\quad\text{e}\quad \Phi_y=N.
Um teste prático para exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso ocorrer, existe \Phi e a solução geral é \Phi(x,y)=C. Explicação dos símbolos:
  • \Phi_x é a derivada parcial de \Phi em relação a x mantendo y fixo.
  • \Phi_y é a derivada parcial de \Phi em relação a y mantendo x fixo.
  • A constante C é a constante de integração que determina a família de curvas solução.

Passo 3

Aplicar o teste de exatidão. Calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x+\sin y\big)=\cos y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cos y\big)=\cos y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos y=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata (as derivadas parciais existem e são contínuas para todos x,y). Portanto existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Construir \Phi(x,y) integrando M em relação a x. Integramos \;M(x,y)=2x+\sin y\; tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (2x+\sin y)\,dx = \int 2x\,dx + \int \sin y\,dx.
Detalhando as integrais:
  • \displaystyle \int 2x\,dx = x^2 porque a primitiva de 2x é x^2.
  • Como y é constante na integração em x, \displaystyle \int \sin y\,dx = x\sin y.
    Somando e adicionando uma função arbitrária de y (pois a derivação em x anula essa função), obtemos
\Phi(x,y)=x^2 + x\sin y + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y que ainda precisamos determinar.

Passo 5

Determinar h(y) impondo \Phi_y=N. Calculamos a derivada parcial de \Phi em relação a y:
\Phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^2 + x\sin y + h(y)\big) = x\cos y + h'(y).
Pelo requisito da exatidão, deve valer \Phi_y=N(x,y)=x\cos y. Portanto
x\cos y + h'(y)=x\cos y.
Subtraindo x\cos y dos dois lados segue
h'(y)=0.
Integrando em y obtemos
h(y)=C_0,
onde C_0 é uma constante.

Passo 6

Escrever a solução geral usando \Phi. Substituindo h(y)=C_0 em \Phi temos, até uma constante,
\Phi(x,y)=x^2 + x\sin y + C_0.
A solução implícita da EDO é dada por \Phi(x,y)=\text{constante}. Eliminando C_0 entre as constantes, a solução geral pode ser escrita como
x^2 + x\sin y = C,
onde C é a constante arbitrária da família de soluções. Observação: é uma solução implícita; isolar y em função de x exige resolver uma equação transcendental e normalmente não é necessário para a prova.

Passo 7

Verificação rápida (checagem). Diferenciando implicitamente \;x^2 + x\sin y = C\; obtemos
2x\,dx + \big(\sin y\,dx + x\cos y\,dy\big)=0,
que se reagrupa em
(2x+\sin y)\,dx + x\cos y\,dy = 0,
idêntica à equação original — portanto a solução está correta.

Resposta

x^{2}+x\sin y=C

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