Questão 2) Considere a função abaixo f(x, y)=\frac{y^{-x}}{x}
Utilizando a mudança de variável y=u x, resolva a EDO y^{\prime}=f(x, y)

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial ordinária (EDO) dada é \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) com
f(x,y)=\frac{y^{-x}}{x}.
  • O enunciado pede que se use a mudança de variável \,y=u(x)\,x e que se resolva a EDO (ou se mostre o que se consegue com essa mudança).
  • Não há condição inicial fornecida no enunciado, então procuraremos a forma geral da solução (ou uma representação implícita da solução) usando a mudança pedida.

Passo 2

Primeiro, apliquei a mudança de variável pedida. Defino
y(x)=u(x)\,x.
Agora calculo a derivada \dfrac{dy}{dx} usando a regra do produto (expliquei isso passo a passo para você usar na prova):
  • Regra do produto: se y(x)=u(x)\,x então
\frac{dy}{dx}=u(x)\cdot\frac{d}{dx}(x)+x\cdot\frac{du}{dx}=u(x)+x\frac{du}{dx}.
Escrevendo de forma compacta:
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.

Passo 3

Substituo essa expressão na EDO original \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{-x}}{x}. Primeiro escrevo y^{-x} em função de u e x:
  • Como y=u x, então
y^{-x}=(u x)^{-x}=u^{-x}\,x^{-x}.
  • Logo o lado direito da EDO fica
\frac{y^{-x}}{x}=\frac{u^{-x}\,x^{-x}}{x}=u^{-x}\,x^{-x-1}.
Agora igualo as duas expressões da derivada:
u + x\frac{du}{dx}=u^{-x}\,x^{-x-1}.

Passo 4

Isolo a derivada de u para deixar a equação explícita em \dfrac{du}{dx}. Subtraindo u e dividindo por x obtenho:
x\frac{du}{dx}=u^{-x}\,x^{-x-1}-u,
\frac{du}{dx}=u^{-x}\,x^{-x-2}-\frac{u}{x}.
Para visualizar a estrutura, escrevo também na forma
\frac{du}{dx}+\frac{u}{x}=u^{-x}\,x^{-x-2}.
Essa é a equação diferencial que resulta da mudança y=ux. Repare que o membro da direita contém u^{-x}=\exp(-x\ln u), isto é, uma dependência exponencial mista em x e u.

Passo 5

Agora vou analisar se essa equação transformada é resolvível por métodos elementares que costumamos usar em provas (separável, linear, Bernoulli, exata), explicando por que cada tentativa falha — isso é importante para saber na hora da prova qual caminho escolher.
  • Tentativa de separação de variáveis:
    • Uma equação é separável se puder ser escrita na forma g(u)\,du = h(x)\,dx. Aqui temos termos como u^{-x}=e^{-x\ln u}, que misturam x e u dentro de uma mesma expressão exponencial. Não é possível rearranjar a equação para obter um lado dependendo só de u e outro só de x. Portanto NÃO é separável.
  • Tentativa de reconhecer equação linear em u:
    • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma \dfrac{du}{dx}+P(x)u=Q(x). Embora o lado esquerdo da nossa equação seja \dfrac{du}{dx}+\dfrac{u}{x} (parece linear), o termo do lado direito é u^{-x}x^{-x-2}, que depende de u. Como Q depende de u, a equação NÃO é linear.
  • Tentativa de Bernoulli:
    • A equação de Bernoulli tem a forma \dfrac{du}{dx}+P(x)u=Q(x)u^n. Aqui a dependência de u no termo do lado direito é \,u^{-x}=\exp(-x\ln u), que não é do tipo u^n com n constante (o expoente depende de x). Logo não é uma Bernoulli com expoente fixo.
  • Tentativa de mudança de variável adicional, por exemplo v=\ln u:
    • Se v=\ln u então u=e^{v} e \dfrac{du}{dx}=e^{v}\dfrac{dv}{dx}. Substituindo na equação obtém-se e^{v}\frac{dv}{dx}+\frac{e^{v}}{x}=e^{-xv}\,x^{-x-2}.Dividindo por e^{v}: \frac{dv}{dx}+\frac{1}{x}=e^{-(x+1)v}\,x^{-x-2}.Ainda resta um termo e^{-(x+1)v} que mistura x e v e impede separação/linearização. Portanto essa substituição também não leva a uma equação elementar resolvível.
Conclusão dessa análise: a equação transformada contém termos do tipo e^{-x\ln u}, isto é, uma dependência transcendental mista em x e u. Isso impede resolver em função elementar por separação, por linearização ou por Bernoulli. Não há uma solução fechada em funções elementares óbvias.

Passo 6

Mesmo não sendo possível obter uma solução explícita em forma elementar, há maneiras úteis de representar a solução (o que também vale numa prova: mostrar que a solução pode ser definida implicitamente e como ela pode ser aproximada).
  • Volto à EDO original \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{-x}}{x}. Essa equação pode ser escrita como uma equação integral do tipo Volterra (forma de Picard) — útil para argumentos de existência/unicidade e para métodos numéricos:
y(x)=y(x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{y(t)^{-t}}{t}\,dt.
Essa igualdade é simplesmente a versão integral da EDO (integro ambos os lados entre x_0 e x). Ela não dá uma expressão explícita, mas define y implicitamente e é a base para iterações de Picard (método de aproximação) ou para aplicação de métodos numéricos (como Runge–Kutta).
  • Outra observação prática: se for dado um valor inicial y(x_0)=y_0>0 (tem de ser positivo para que as potências e logs façam sentido real), então, por teoremas padrão de existência e unicidade (a função f(x,y)=y^{-x}/x é contínua em x e y em domínios apropriados), existe uma solução local única e ela é a função que satisfaz a equação integral acima. Para obter valores numéricos dessa solução na prova (ou em aplicação), usa-se aproximação iterativa ou métodos numéricos.

Passo 7

Resumo prático para a prova (o que você deve escrever se pedirem "resolver usando y=ux"):
  • Faça a mudança y=ux e calcule \dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}.
  • Substitua e obtenha a equação transformada
u+x\frac{du}{dx}=u^{-x}\,x^{-x-1},
ou equivalentemente
\frac{du}{dx}+\frac{u}{x}=u^{-x}\,x^{-x-2}.
  • Explique que essa equação não é separável nem linear nem de Bernoulli (devido ao termo u^{-x}=\exp(-x\ln u) que mistura x e u de forma transcendental), logo não se obtém solução elementar fechada.
  • Declare a representação integral da solução (forma apropriada para análise e para métodos numéricos):
y(x)=y(x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{y(t)^{-t}}{t}\,dt,
e/ou resolva numericamente se um valor inicial for dado.

Resposta

A substituição y=ux leva à equação
u+x\frac{du}{dx}=u^{-x}\,x^{-x-1},
ou
\frac{du}{dx}+\frac{u}{x}=u^{-x}\,x^{-x-2}.
Essa equação não admite solução fechada em funções elementares (devido ao termo u^{-x}=\exp(-x\ln u) que mistura x e u). A solução é definida implicitamente pela forma integral
y(x)=y(x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{y(t)^{-t}}{t}\,dt,
e pode ser obtida numericamente ou por iterações de Picard dado um valor inicial y(x_0)=y_0>0.

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