Questão 2) Considere a função abaixo
Utilizando a mudança de variável
, resolva a EDO
Utilizando a mudança de variável
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial ordinária (EDO) dada é
com
- O enunciado pede que se use a mudança de variável
e que se resolva a EDO (ou se mostre o que se consegue com essa mudança). - Não há condição inicial fornecida no enunciado, então procuraremos a forma geral da solução (ou uma representação implícita da solução) usando a mudança pedida.
Passo 2
Primeiro, apliquei a mudança de variável pedida. Defino
Agora calculo a derivada
usando a regra do produto (expliquei isso passo a passo para você usar na prova):
- Regra do produto: se
então
Escrevendo de forma compacta:
Passo 3
Substituo essa expressão na EDO original
. Primeiro escrevo
em função de
e
:
- Como
, então
- Logo o lado direito da EDO fica
Agora igualo as duas expressões da derivada:
Passo 4
Isolo a derivada de
para deixar a equação explícita em
. Subtraindo
e dividindo por
obtenho:
Para visualizar a estrutura, escrevo também na forma
Essa é a equação diferencial que resulta da mudança
. Repare que o membro da direita contém
, isto é, uma dependência exponencial mista em
e
.
Passo 5
Agora vou analisar se essa equação transformada é resolvível por métodos elementares que costumamos usar em provas (separável, linear, Bernoulli, exata), explicando por que cada tentativa falha — isso é importante para saber na hora da prova qual caminho escolher.
-
Tentativa de separação de variáveis:
- Uma equação é separável se puder ser escrita na forma
. Aqui temos termos como , que misturam e dentro de uma mesma expressão exponencial. Não é possível rearranjar a equação para obter um lado dependendo só de e outro só de . Portanto NÃO é separável.
- Uma equação é separável se puder ser escrita na forma
-
Tentativa de reconhecer equação linear em
: - Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. Embora o lado esquerdo da nossa equação seja (parece linear), o termo do lado direito é , que depende de . Como depende de , a equação NÃO é linear.
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
-
Tentativa de Bernoulli:
- A equação de Bernoulli tem a forma
. Aqui a dependência de no termo do lado direito é , que não é do tipo com constante (o expoente depende de ). Logo não é uma Bernoulli com expoente fixo.
- A equação de Bernoulli tem a forma
-
Tentativa de mudança de variável adicional, por exemplo
: - Se
então e . Substituindo na equação obtém-se Dividindo por : Ainda resta um termo que mistura e e impede separação/linearização. Portanto essa substituição também não leva a uma equação elementar resolvível.
- Se
Conclusão dessa análise: a equação transformada contém termos do tipo
, isto é, uma dependência transcendental mista em
e
. Isso impede resolver em função elementar por separação, por linearização ou por Bernoulli. Não há uma solução fechada em funções elementares óbvias.
Passo 6
Mesmo não sendo possível obter uma solução explícita em forma elementar, há maneiras úteis de representar a solução (o que também vale numa prova: mostrar que a solução pode ser definida implicitamente e como ela pode ser aproximada).
- Volto à EDO original
. Essa equação pode ser escrita como uma equação integral do tipo Volterra (forma de Picard) — útil para argumentos de existência/unicidade e para métodos numéricos:
Essa igualdade é simplesmente a versão integral da EDO (integro ambos os lados entre
e
). Ela não dá uma expressão explícita, mas define
implicitamente e é a base para iterações de Picard (método de aproximação) ou para aplicação de métodos numéricos (como Runge–Kutta).
- Outra observação prática: se for dado um valor inicial
(tem de ser positivo para que as potências e logs façam sentido real), então, por teoremas padrão de existência e unicidade (a função é contínua em e em domínios apropriados), existe uma solução local única e ela é a função que satisfaz a equação integral acima. Para obter valores numéricos dessa solução na prova (ou em aplicação), usa-se aproximação iterativa ou métodos numéricos.
Passo 7
Resumo prático para a prova (o que você deve escrever se pedirem "resolver usando
"):
- Faça a mudança
e calcule . - Substitua e obtenha a equação transformada
ou equivalentemente
- Explique que essa equação não é separável nem linear nem de Bernoulli (devido ao termo
que mistura e de forma transcendental), logo não se obtém solução elementar fechada. - Declare a representação integral da solução (forma apropriada para análise e para métodos numéricos):
e/ou resolva numericamente se um valor inicial for dado.
Resposta
A substituição
leva à equação
ou
Essa equação não admite solução fechada em funções elementares (devido ao termo
que mistura
e
). A solução é definida implicitamente pela forma integral
e pode ser obtida numericamente ou por iterações de Picard dado um valor inicial
.