Faça o estudo das funções abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que façamos o “estudo da função”. Ou seja, precisamos identificar e responder, pelo menos, os itens: domínio, zeros (interseções com o eixo
), interseção com o eixo
, simetria/paridade, expressão em partes (casos), derivabilidade (onde a função é diferenciável), monotonicidade (onde cresce/decresce), extremos (mínimos/máximos) e imagem (intervalo de valores que a função assume). As informações dadas são apenas a fórmula acima.
Passo 2
Uma boa ideia para funções com
é substituir
. Lembra:
é sempre não negativo, então
. Com
temos uma função quadrática em
:
Estudar
equivale a estudar
no domínio
e depois traduzir os resultados para
usando
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para achar os zeros em termos de
. Factorizamos:
Logo os zeros de
são
e
. Como
, cada solução em
corresponde a duas soluções em
:
Portanto os zeros de
são
e
. A interseção com o eixo
é
. Substituindo
,
Passo 4
Encontrar o vértice da quadrática
. Para uma quadrática
, o vértice em
ocorre em
Aqui
e
, então
Avaliaremos
em
:
Fazendo conta:
. Portanto o valor mínimo de
(já que
a parábola abre para cima) é
em
. Voltando para
:
dá
. Assim
atinge o valor mínimo
em
.
Passo 5
Domínio e imagem (intervalo de valores):
- Domínio: todos os números reais, isto é
, pois e polinômios estão definidos para todo . - Imagem: como o menor valor que
atinge é e a função tende a quando , temos
Passo 6
Simetria / paridade: note que
. Portanto
Logo
é uma função par (simétrica em torno do eixo
).
Passo 7
Escrever
(Ambas as fórmulas coincidem em
.)]
Passo 8
Derivabilidade e derivadas nas partes. Para
,
e para
,
Na origem calculamos as derivadas laterais:
Como
, a função não é diferenciável em
. Em todo ponto
ela é diferenciável (são polinômios em cada ramo).
Passo 9
Críticos e monotonicidade. Zeros das derivadas em cada ramo:
- Em
: . - Em
: .
Agora analisamos o sinal de
em cada intervalo (usando pontos testes):
- Para
: escolha . → função decrescente. - Para
: escolha . → função crescente. - Para
: escolha . → função decrescente. - Para
: escolha . → função crescente.
Portanto os intervalos de monotonicidade são:
-
decrescente em , -
crescente em , -
decrescente em , -
crescente em .
(A presença de um ponto
onde a derivada lateral muda de sinal positivo para negativo faz de
um máximo local.)
Passo 10
Classificação dos extremos:
- Em
temos e mudança de sinal de decrescente → crescente: esses pontos são mínimos locais. Como o valor mínimo é e não há valor menor, são mínimos globais também. Valor: . - Em
temos um máximo local (derivada passa de positiva à esquerda para negativa à direita). Valor: . - Não existe máximo global pois
quando .
Passo 11
Comportamento nas extremidades: à medida que
,
. A função tem formato de “W” suave simétrico (devido à dependência só de
): sobe para
nas duas pontas, tem dois poços simétricos (mínimos globais em
) e um pico central em
.
Resposta
Domínio:
.
Paridade: é par.
Zeros: .
Interseção com o eixo :
.
Expressão por partes: para
e
para
.
Pontos onde não é diferenciável: .
Derivada: para
,
para
.
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
, decrescente em
, crescente em
.
Extremos: mínimos globais em com
; máximo local em
com
.
Imagem: .
Paridade:
Zeros:
Interseção com o eixo
Expressão por partes:
Pontos onde não é diferenciável:
Derivada:
Monotonicidade: decrescente em
Extremos: mínimos globais em
Imagem: