Faça o estudo das funções abaixo.
f(x)=|x|^{2}-5|x|+6.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=|x|^{2}-5|x|+6
e pede que façamos o “estudo da função”. Ou seja, precisamos identificar e responder, pelo menos, os itens: domínio, zeros (interseções com o eixo x), interseção com o eixo y, simetria/paridade, expressão em partes (casos), derivabilidade (onde a função é diferenciável), monotonicidade (onde cresce/decresce), extremos (mínimos/máximos) e imagem (intervalo de valores que a função assume). As informações dadas são apenas a fórmula acima.

Passo 2

Uma boa ideia para funções com |x| é substituir u=|x|. Lembra: |x| é sempre não negativo, então u\ge 0. Com u=|x| temos uma função quadrática em u:
g(u)=u^{2}-5u+6,\quad u\ge 0.
Estudar f(x) equivale a estudar g(u) no domínio u\ge 0 e depois traduzir os resultados para x usando |x|=u.

Passo 3

Vamos resolver a equação g(u)=0 para achar os zeros em termos de u. Factorizamos:
u^{2}-5u+6=(u-2)(u-3).
Logo os zeros de g são u=2 e u=3. Como u=|x|, cada solução em u>0 corresponde a duas soluções em x:
|x|=2\Rightarrow x=\pm 2,\qquad |x|=3\Rightarrow x=\pm 3.
Portanto os zeros de f são x=\pm 2 e x=\pm 3. A interseção com o eixo y é f(0). Substituindo |0|=0,
f(0)=0^{2}-5\cdot 0+6=6.

Passo 4

Encontrar o vértice da quadrática g(u)=u^{2}-5u+6. Para uma quadrática \,au^{2}+bu+c, o vértice em u ocorre em
u_v=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=1 e b=-5, então
u_v=-\frac{-5}{2\cdot 1}=\frac{5}{2}=2,5.
Avaliaremos g em u_v:
g\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\left(\tfrac{5}{2}\right)^{2}-5\left(\tfrac{5}{2}\right)+6=\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+6.
Fazendo conta: \tfrac{25}{4}-\tfrac{50}{4}+\tfrac{24}{4}=\tfrac{-1}{4}. Portanto o valor mínimo de g (já que a>0 a parábola abre para cima) é -\tfrac{1}{4} em u=2,5. Voltando para x: |x|=2,5 x=\pm 2,5. Assim f atinge o valor mínimo -\tfrac{1}{4} em x=\pm 2,5.

Passo 5

Domínio e imagem (intervalo de valores):
  • Domínio: todos os números reais, isto é \mathbb{R}, pois |x| e polinômios estão definidos para todo x.
  • Imagem: como o menor valor que f atinge é -\tfrac{1}{4} e a função tende a +\infty quando |x|\to\infty, temos
\mathrm{Im}(f)=[-\tfrac{1}{4},\infty).

Passo 6

Simetria / paridade: note que |-x|=|x|. Portanto
f(-x)=|-x|^{2}-5|-x|+6=|x|^{2}-5|x|+6=f(x).
Logo f é uma função par (simétrica em torno do eixo y).

Passo 7

Escrever f\) de forma piecewise (por partes), substituindo \(|x|=x\) quando \(x\ge 0\) e \(|x|=-x\) quando \(x<0\): \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+5x+6, & x<0,\\[4pt] x^{2}-5x+6, & x\ge 0. \end{cases}
(Ambas as fórmulas coincidem em x=0\] no valor \(6.)]

Passo 8

Derivabilidade e derivadas nas partes. Para x<0,
f'(x)=2x+5,
e para x>0,
f'(x)=2x-5.
Na origem calculamos as derivadas laterais:
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}(2x+5)=5,\qquad f'_{+}(0)=\lim_{x\to 0^+}(2x-5)=-5.
Como f'_{-}(0)\neq f'_{+}(0), a função não é diferenciável em x=0. Em todo ponto x\neq 0 ela é diferenciável (são polinômios em cada ramo).

Passo 9

Críticos e monotonicidade. Zeros das derivadas em cada ramo:
  • Em x<0: 2x+5=0\Rightarrow x=-\tfrac{5}{2}=-2,5.
  • Em x>0: 2x-5=0\Rightarrow x=\tfrac{5}{2}=2,5.
Agora analisamos o sinal de f' em cada intervalo (usando pontos testes):
  • Para x<-2,5: escolha x=-3. f'(x)=2(-3)+5=-1<0 → função decrescente.
  • Para -2,5<x<0: escolha x=-1. f'(x)=2(-1)+5=3>0 → função crescente.
  • Para 0<x<2,5: escolha x=1. f'(x)=2(1)-5=-3<0 → função decrescente.
  • Para x>2,5: escolha x=3. f'(x)=2(3)-5=1>0 → função crescente.
Portanto os intervalos de monotonicidade são:
  • f decrescente em (-\infty,-2,5),
  • f crescente em (-2,5,0),
  • f decrescente em (0,2,5),
  • f crescente em (2,5,\infty).
(A presença de um ponto 0 onde a derivada lateral muda de sinal positivo para negativo faz de x=0 um máximo local.)

Passo 10

Classificação dos extremos:
  • Em x=\pm 2,5 temos f' =0 e mudança de sinal de decrescente → crescente: esses pontos são mínimos locais. Como o valor mínimo é -\tfrac{1}{4} e não há valor menor, são mínimos globais também. Valor: f(\pm 2,5)=-\tfrac{1}{4}.
  • Em x=0 temos um máximo local (derivada passa de positiva à esquerda para negativa à direita). Valor: f(0)=6.
  • Não existe máximo global pois f(x)\to +\infty quando |x|\to\infty.

Passo 11

Comportamento nas extremidades: à medida que |x|\to\infty, f(x)\approx |x|^{2}\to\infty. A função tem formato de “W” suave simétrico (devido à dependência só de |x|): sobe para +\infty nas duas pontas, tem dois poços simétricos (mínimos globais em \pm 2,5) e um pico central em 0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Paridade: f é par.
Zeros: x=\pm 2,\\ \pm 3.
Interseção com o eixo y: f(0)=6.
Expressão por partes: f(x)=x^{2}+5x+6 para x<0 e f(x)=x^{2}-5x+6 para x\ge 0.
Pontos onde não é diferenciável: x=0.
Derivada: f'(x)=2x+5 para x<0, f'(x)=2x-5 para x>0.
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,-2,5), crescente em (-2,5,0), decrescente em (0,2,5), crescente em (2,5,\infty).
Extremos: mínimos globais em x=\pm 2,5 com f(\pm 2,5)=-\tfrac{1}{4}; máximo local em x=0 com f(0)=6.
Imagem: [-\tfrac{1}{4},\infty).

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