Questão (02(6,0)) : (O) ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade § de determinado poluente (em (mg / l) ) está diminuindo de acordo com a função P=P_{0} e^{-k t}, onde o tempo (t) é medido em horas. Sabendo que (10 %) da poluição são removidos nas cinco primeiras horas:
Escreva a inversa da função dada e interprete-a neste contexto.

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve a concentração do poluente ao longo do tempo:
P(t)=P_{0}e^{-k t},
onde t está em horas. Diz também que 10\% da poluição são removidos nas cinco primeiras horas.
As perguntas são:
  • Escrever a inversa da função dada.
  • Interpretar essa inversa no contexto (o que ela representa, domínio/contradomínio, como usar).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função original é \;P(t)=P_{0}e^{-k t}\;.
  • Tempo medido em horas.
  • Em t=5 horas, a poluição restante é 90\% de P_{0}, ou seja \;P(5)=0{,}9\,P_{0}\; (peguei esse número do enunciado).

Passo 2

Entender e calcular a constante k usando a informação de redução em 5 horas.
Por definição de decaimento exponencial, em t=5 temos
P(5)=P_{0}e^{-k\cdot 5}.
Pelo enunciado P(5)=0{,}9\,P_{0}. Igualando:
0{,}9\,P_{0}=P_{0}e^{-5k}.
Dividindo ambos os lados por P_{0} (assumindo P_{0}>0):
0{,}9=e^{-5k}.
Agora aplicamos o logaritmo natural ( \ln) para “desfazer” a exponencial. Lembrando que \ln(e^{x})=x:
\ln(0{,}9)=-5k.
Despejando k:
k=-\frac{1}{5}\ln(0{,}9).
Essa expressão dá o valor de k em unidades de \text{hora}^{-1}. Podemos calcular uma aproximação numérica (apenas para referência):
\ln(0{,}9)\approx -0{,}1053605\quad\Rightarrow\quad k\approx 0{,}0210721\\ \text{h}^{-1}.

Passo 3

Derivar a inversa da função geral \;P(t)=P_{0}e^{-k t}\;.
Queremos achar t em função de P. Começamos isolando a exponencial:
\frac{P}{P_{0}}=e^{-k t}.
Aplicamos \ln em ambos os lados:
\ln\!\left(\frac{P}{P_{0}}\right)=-k t.
Agora resolvemos para t:
t=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{P}{P_{0}}\right).
Usando propriedades do logaritmo \ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right)=-\ln\!\left(\dfrac{P_{0}}{P}\right), uma forma equivalente e mais habitual é
t=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{P_{0}}{P}\right).
Portanto a inversa (função que dá o tempo necessário para atingir a concentração P) é
P^{-1}(P)=t=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{P_{0}}{P}\right).

Passo 4

Substituir o valor de k obtido no Passo 2 para uma forma explícita usando os dados do enunciado.
Como k=-\dfrac{1}{5}\ln(0{,}9), temos
\frac{1}{k}=-\frac{5}{\ln(0{,}9)}=\frac{5}{\ln\!\bigl(\tfrac{1}{0{,}9}\bigr)}.
Assim uma expressão explícita é
t=-5\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_{0}}{P}\right)}{\ln(0{,}9)}
ou, numericamente,
t\approx 47{,}44\;\ln\!\left(\frac{P_{0}}{P}\right)\\ \text{horas},
já que \dfrac{1}{k}\approx 47{,}44 h. Ambas as formas são equivalentes; a primeira expressa diretamente em termos de \ln(0{,}9), a segunda dá uma constante numérica útil em cálculos rápidos.

Passo 5

Interpretação da inversa no contexto (explicação didática e concreta).
  • O que a inversa dá? A função inversa t=\dfrac{1}{k}\ln\!\left(\dfrac{P_{0}}{P}\right) informa o tempo (em horas) necessário para que a concentração do poluente diminua de \,P_{0}\, até um nível desejado P.
  • Domínio e contradomínio: como a função original tem P(t)>0 para todo t\ge 0 e decresce de P_{0} para 0 quando t\to\infty, a inversa faz sentido para 0<P\le P_{0}. O valor da inversa t é \ge 0.
  • Unidade: o resultado de t está em horas porque k está em \text{h}^{-1}.
  • Como usar na prova: se te pedirem “quanto tempo leva para a concentração chegar a 50\% de P_{0}?”, basta colocar P=0{,}5P_{0} na fórmula e calcular:
t=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{P_{0}}{0{,}5P_{0}}\right)=\frac{1}{k}\ln(2).
Com 1/k\approx 47{,}44 h isso dá t\approx 32{,}9 horas — um exemplo concreto para treinar.

Resposta

t=P^{-1}(P)=\dfrac{1}{k}\ln\!\left(\dfrac{P_{0}}{P}\right), com k=-\dfrac{1}{5}\ln(0{,}9).\nA inversa representa o tempo (em horas) necessário para que a concentração do poluente caia de P_{0} até o valor P (válida para 0<P\le P_{0}).

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