Questão (02(6,0)) : (O) ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade § de determinado poluente (em (mg / l) ) está diminuindo de acordo com a função P=P_{0} e^{-k t}, onde o tempo (t) é medido em horas. Sabendo que (10 %) da poluição são removidos nas cinco primeiras horas:
Escreva a inversa da função dada e interprete-a neste contexto.
Escreva a inversa da função dada e interprete-a neste contexto.
Passo 1
O enunciado dá a função que descreve a concentração do poluente ao longo do tempo:
onde
está em horas. Diz também que
da poluição são removidos nas cinco primeiras horas.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Escrever a inversa da função dada.
- Interpretar essa inversa no contexto (o que ela representa, domínio/contradomínio, como usar).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função original é
. - Tempo medido em horas.
- Em
horas, a poluição restante é de , ou seja (peguei esse número do enunciado).
Passo 2
Entender e calcular a constante
usando a informação de redução em 5 horas.
Por definição de decaimento exponencial, em
temos
Pelo enunciado
. Igualando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Agora aplicamos o logaritmo natural (
) para “desfazer” a exponencial. Lembrando que
:
Despejando
:
Essa expressão dá o valor de
em unidades de
. Podemos calcular uma aproximação numérica (apenas para referência):
Passo 3
Derivar a inversa da função geral
.
Queremos achar
em função de
. Começamos isolando a exponencial:
Aplicamos
em ambos os lados:
Agora resolvemos para
:
Usando propriedades do logaritmo
, uma forma equivalente e mais habitual é
Portanto a inversa (função que dá o tempo necessário para atingir a concentração
) é
Passo 4
Substituir o valor de
obtido no Passo 2 para uma forma explícita usando os dados do enunciado.
Como
, temos
Assim uma expressão explícita é
ou, numericamente,
já que
h. Ambas as formas são equivalentes; a primeira expressa diretamente em termos de
, a segunda dá uma constante numérica útil em cálculos rápidos.
Passo 5
Interpretação da inversa no contexto (explicação didática e concreta).
- O que a inversa dá? A função inversa
informa o tempo (em horas) necessário para que a concentração do poluente diminua de até um nível desejado . - Domínio e contradomínio: como a função original tem
para todo e decresce de para quando , a inversa faz sentido para . O valor da inversa é . - Unidade: o resultado de
está em horas porque está em . - Como usar na prova: se te pedirem “quanto tempo leva para a concentração chegar a
de ?”, basta colocar na fórmula e calcular:
Com
h isso dá
horas — um exemplo concreto para treinar.