Questão
: Certo medicamento administrado em um paciente por via intravenosa para combater a dor. A quantidade de unidades do medicamento no organismo após
horas é dada por
(a) Identifique a quantidade de unidades do medicamento foi aplicada inicialmente.
(b) Escreva a expressão que permite calcular o tempo necessário para que haja uma quantidade específica
de unidades do medicamento no organismo.
(b) Escreva a expressão que permite calcular o tempo necessário para que haja uma quantidade específica
Passo 1
O enunciado dá a quantidade de medicamento no organismo por hora através da relação
e pede duas coisas:
- (a) a quantidade inicial de unidades do medicamento aplicada (ou seja,
); - (b) a expressão que permite encontrar o tempo
quando a quantidade no organismo for uma dada .
Informações relevantes que vêm do enunciado:
- A função incógnita é
, que representa a quantidade de unidades do medicamento no organismo no instante (em horas). - A equação relaciona
com . - O intervalo de interesse para
é .
Passo 2
Primeiro vamos escrever explicitamente
. Multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Agora simplificamos os termos entre parênteses:
Explicando devagar: multiplicar por
distribui
sobre
e sobre
, dando
e
.
Passo 3
(a) A quantidade inicial é
. Substituímos
na expressão obtida:
Lembrando que
(porque a função logaritmo natural satisfaz
), temos
Portanto a quantidade inicial aplicada foi de
unidades.
Passo 4
(b) Agora queremos isolar
em função de uma quantidade dada
. Começamos impondo
na expressão de
:
O objetivo é obter
(algo em termos de
). Vamos manipular essa igualdade passo a passo, usando álgebra básica e propriedades do logaritmo.
Passo 5
Isolando o termo com logaritmo:
Multiplicando por
obtenho
Dividindo por
para deixar o logaritmo sozinho:
Aqui usei operações inversas: subtração e divisão. Agora aplico a exponenciação para “desfazer” o
: a exponencial natural
é a função inversa do
.
Passo 6
Aplicando exponenciação em ambos os lados:
Finalmente isolamos
:
Explicando a ideia: como
e
, elevar
ao lado direito cancela o
do lado esquerdo, deixando
.
Passo 7
Comentários sobre domínio (úteis para a prova):
- A função
exige , o que dá ; como já estamos no intervalo , não há problema. - Se quisermos que essa fórmula retorne um
dentro de , a quantidade tem de estar entre e . Calculando (apenas para entender os limites):
Assim, para
os valores possíveis de
variam aproximadamente de
até
. A fórmula encontrada dá o
real correspondente a qualquer
; se se quer um
no intervalo dado, deve-se verificar que
esteja nesse intervalo.
Resposta
(a)
unidades.
(b) .
(b)