Questão 02(6,0) : Certo medicamento administrado em um paciente por via intravenosa para combater a dor. A quantidade de unidades do medicamento no organismo após t horas é dada por
\frac{Q(t)}{2}=45-26 \ln (1+t) \quad 0 \leq t \leq 4
(a) Identifique a quantidade de unidades do medicamento foi aplicada inicialmente.
(b) Escreva a expressão que permite calcular o tempo necessário para que haja uma quantidade específica M de unidades do medicamento no organismo.

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de medicamento no organismo por hora através da relação
\frac{Q(t)}{2}=45-26\ln(1+t),\qquad 0\le t\le 4,
e pede duas coisas:
  • (a) a quantidade inicial de unidades do medicamento aplicada (ou seja, Q(0));
  • (b) a expressão que permite encontrar o tempo t quando a quantidade no organismo for uma dada M.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A função incógnita é Q(t), que representa a quantidade de unidades do medicamento no organismo no instante t (em horas).
  • A equação relaciona \dfrac{Q(t)}{2} com \ln(1+t).
  • O intervalo de interesse para t é [0,4].

Passo 2

Primeiro vamos escrever explicitamente Q(t). Multiplicamos ambos os lados da equação por 2:
Q(t)=2\bigl(45-26\ln(1+t)\bigr).
Agora simplificamos os termos entre parênteses:
Q(t)=90-52\ln(1+t).
Explicando devagar: multiplicar por 2 distribui 2 sobre 45 e sobre -26\ln(1+t), dando 90 e -52\ln(1+t).

Passo 3

(a) A quantidade inicial é Q(0). Substituímos t=0 na expressão obtida:
Q(0)=90-52\ln(1+0)=90-52\ln(1).
Lembrando que \ln(1)=0 (porque a função logaritmo natural satisfaz \ln(1)=0), temos
Q(0)=90-52\cdot 0=90.
Portanto a quantidade inicial aplicada foi de 90 unidades.

Passo 4

(b) Agora queremos isolar t em função de uma quantidade dada M. Começamos impondo Q(t)=M na expressão de Q(t):
M=90-52\ln(1+t).
O objetivo é obter t= (algo em termos de M). Vamos manipular essa igualdade passo a passo, usando álgebra básica e propriedades do logaritmo.

Passo 5

Isolando o termo com logaritmo:
M-90=-52\ln(1+t).
Multiplicando por -1 obtenho
90-M=52\ln(1+t).
Dividindo por 52 para deixar o logaritmo sozinho:
\ln(1+t)=\frac{90-M}{52}.
Aqui usei operações inversas: subtração e divisão. Agora aplico a exponenciação para “desfazer” o \ln: a exponencial natural e^{(\cdot)} é a função inversa do \ln.

Passo 6

Aplicando exponenciação em ambos os lados:
1+t=\exp\!\left(\frac{90-M}{52}\right).
Finalmente isolamos t:
t=\exp\!\left(\frac{90-M}{52}\right)-1.
Explicando a ideia: como \exp(\ln x)=x e \ln(\exp y)=y, elevar e ao lado direito cancela o \ln do lado esquerdo, deixando 1+t.

Passo 7

Comentários sobre domínio (úteis para a prova):
  • A função \ln(1+t) exige 1+t>0, o que dá t>-1; como já estamos no intervalo t\ge 0, não há problema.
  • Se quisermos que essa fórmula retorne um t dentro de [0,4], a quantidade M tem de estar entre Q(4) e Q(0). Calculando Q(4) (apenas para entender os limites):
Q(4)=90-52\ln(1+4)=90-52\ln 5\approx 90-52\cdot 1,609\approx 6,332.
Assim, para t\in[0,4] os valores possíveis de M variam aproximadamente de 6,332 até 90. A fórmula encontrada dá o t real correspondente a qualquer M; se se quer um t no intervalo dado, deve-se verificar que M esteja nesse intervalo.

Resposta

(a) Q(0)=90 unidades.
(b) t=\exp\!\left(\dfrac{90-M}{52}\right)-1.

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