Questão 03

Verifique se a série a seguir converge ou diverge. Justifique sua resposta aplicando o Teste da Série Alternada:
sumn=1^infty (-1)^n+1n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty (-1)^n+1n
converge ou diverge, usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Precisamos mostrar que os termos em valor absoluto formam uma sequência decrescente que tende a zero.

Passo 2

Definimos bn = 1n. Note que para todo n>=1 vale
bn+1 = 1n+1 < 1n = bn,
logo bn é estritamente decrescente.

Passo 3

Além disso,
limntoinfty bn = limntoinfty 1n = 0
Como bn é decrescente e tende a zero, o Teste da Série Alternada garante que
sumn=1^infty (-1)^n+1 bn
converge.

Passo 4

Para avaliar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty |(-1)^n+1/n| = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge (é uma p-série com p=1). Portanto, a convergência não é absoluta, mas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Teste da Série Alternada e diverge em valor absoluto).

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