Questão 09

Considere a expressão abaixo:
\lim _{n \rightarrow+\infty} s_{n}=a
A expressão dada indica
o teorema do valor médio para séries infinitas.
a definição da convergência de uma série.
a definição do critério de continuidade para séries.
a definição do critério de descontinuidade para séries.
a definição do critério de Cauchy para séries.

Passo 1

O enunciado apresenta uma sequência (s_n) de somas parciais de uma série infinita e diz que
\lim_{n\to+\infty}s_n = a.
O conteúdo aqui é a definição de convergência de uma série infinita: dizemos que a série
\sum_{k=1}^\infty u_k
converge para a se, e somente se, a sequência dos seus somatórios parciais s_n = \sum_{k=1}^n u_k satisfaz \lim_{n\to+\infty}s_n = a.

Passo 2

Analisando as alternativas:
  • O teorema do valor médio é sobre funções, não se aplica a séries.
  • O critério de Cauchy para séries exige que para todo \varepsilon>0 exista N tal que \lvert s_{n+p}-s_n\rvert<\varepsilon para todo n>N e todo p\ge1; não é simplesmente o limite dos s_n.
  • Critérios de continuidade ou descontinuidade não tratam somas parciais de séries.
    Logo, a única opção correta é a que define diretamente a convergência de uma série.

Resposta

a definição da convergência de uma série.

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