Questão 04) Um campo elétrico é descrito pela equação
Encontre a equação das linhas de força deste campo e represente graficamente um conjunto de linhas de
força força.
força força.
Passo 1
Beleza, vamos ao que interessa! O enunciado diz que o campo elétrico é
e pede para a gente achar as linhas de força desse campo. O conteúdo aqui é “linhas de campo” de um campo vetorial, e pra resolver precisamos saber que elas satisfazem a equação diferencial
Vamos usar essa ideia e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a relação entre as componentes do campo e a inclinação da linha de força:
Isso significa que, em qualquer ponto
, a tangente da curva (linha de força) tem essa inclinação.
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial
Separamos variáveis:
Em seguida, integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Multiplicando tudo por 2 para simplificar, fica
com
. Essas equações descrevem hipérboles de eixo nos eixos
e
.
Passo 5
Para entender graficamente, note que:
- Se
, as hipérboles ficam nos quadrantes 1 e 3; - Se
, elas ficam nos quadrantes 2 e 4; - Variando
, você pega famílias de hipérboles espalhadas.
Resposta
As linhas de força do campo
são dadas pelas curvas
onde
é uma constante real. Graficamente, isso corresponde a uma família de hipérboles centradas na origem.