Questão 04) Um campo elétrico é descrito pela equação
E=1x i+1y j
Encontre a equação das linhas de força deste campo e represente graficamente um conjunto de linhas de
força força.

Passo 1

Beleza, vamos ao que interessa! O enunciado diz que o campo elétrico é
E(x,y)=1x,i+1y,j
e pede para a gente achar as linhas de força desse campo. O conteúdo aqui é “linhas de campo” de um campo vetorial, e pra resolver precisamos saber que elas satisfazem a equação diferencial
dydx=EyEx
Vamos usar essa ideia e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a relação entre as componentes do campo e a inclinação da linha de força:
dydx ;=;EyEx ;=;tfrac1ytfrac1x ;=;xy
Isso significa que, em qualquer ponto , a tangente da curva (linha de força) tem essa inclinação.

Passo 3

Agora resolvemos a equação diferencial
dydx=xy
Separamos variáveis:
y,dy = x,dx
Em seguida, integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral x,dx ;Longrightarrow; y^22 = x^22 + C,
onde é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 para simplificar, fica
y^2 - x^2 = C',
com . Essas equações descrevem hipérboles de eixo nos eixos e .

Passo 5

Para entender graficamente, note que:
  • Se , as hipérboles ficam nos quadrantes 1 e 3;
  • Se , elas ficam nos quadrantes 2 e 4;
  • Variando , você pega famílias de hipérboles espalhadas.

Resposta

As linhas de força do campo boxedy^2 - x^2 = C, são dadas pelas curvas
onde é uma constante real. Graficamente, isso corresponde a uma família de hipérboles centradas na origem.

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