Questão 09) Considere uma placa de material dielétrico, plana e circular, de raio
. A densidade superficial de cargas elétricas varia radialmente de acordo com a seguinte função:
para
, e
para
, sendo
uma constante. a) Faça um gráfico representando a densidade de cargas em função da distância ao centro da placa, b) determine a carga total contida na superfície da placa circular, c) determine
(a distância radial em relação ao centro da placa circular), para a qual é nula a carga total contida na região
, ed) calcule a carga total contida na região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma placa circular de raio
, com densidade de carga que varia com a distância
do centro segundo
e
para
.
Conteúdo: distribuição de carga superficial e cálculo de cargas via integração em coordenadas polares.
Para resolver vamos precisar:
Conteúdo: distribuição de carga superficial e cálculo de cargas via integração em coordenadas polares.
Para resolver vamos precisar:
- desenhar o gráfico de
vs.\ , - usar a fórmula da carga total
, com , - achar
tal que a carga acumulada de até seja zero, - calcular a carga de
até .
Passo 2
(a) Gráfico
vs.\
:
- Em
, . - Em
, .
É uma reta decrescente de valorem até em .
Passo 3
(b) Carga total
Usamos
Usamos
Vamos integral passo a passo:
Multiplicando por
:
Passo 4
© Achar
tal que
.
Escrevemos a carga de até
:
Escrevemos a carga de
Queremos isso igual a zero (não vale
, buscamos outra raiz):
Passo 5
(d) Carga na região
Como a carga total de até
é zero, a carga de
até
é simplesmente a carga total que achamos no Passo 3:
Como a carga total de
Resposta
Carga total:
.
Distância para carga nula em
:
.
Carga na região :
.
Distância
Carga na região