Questão 09) Considere uma placa de material dielétrico, plana e circular, de raio R. A densidade superficial de cargas elétricas varia radialmente de acordo com a seguinte função: sigma=a(1-2 r / R) para 0 <= r <= R, e sigma=0 para r>R, sendo a uma constante. a) Faça um gráfico representando a densidade de cargas em função da distância ao centro da placa, b) determine a carga total contida na superfície da placa circular, c) determine r0 (a distância radial em relação ao centro da placa circular), para a qual é nula a carga total contida na região 0 <= r, ed) calcule a carga total contida na região r0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma placa circular de raio sigma(r)=al(1-tfrac2rRr) para 0<= r<= R, , com densidade de carga que varia com a distância do centro segundo
e para .
Conteúdo: distribuição de carga superficial e cálculo de cargas via integração em coordenadas polares.
Para resolver vamos precisar:
  1. desenhar o gráfico de vs.\ ,
  2. usar a fórmula da carga total , com ,
  3. achar tal que a carga acumulada de até seja zero,
  4. calcular a carga de até .

Passo 2

(a) Gráfico vs.\ :
  • Em , .
  • Em , .
    É uma reta decrescente de valor em até em .

Passo 3

(b) Carga total
Usamos
Q=integral0^Rsigma(r),2pi r,dr =2pi aintegral0^Rl(1-tfrac2rRr)r,dr
Vamos integral passo a passo:
integral0^R(r - tfrac2r^2R),dr =l[tfracr^22 - tfrac2r^33Rr]0^R =tfracR^22-tfrac2R^33R =tfracR^22-tfrac2R^23 =-tfracR^26
Multiplicando por Q=2pi al(-tfracR^26r) =-tfracpi aR^23 :

Passo 4

© Achar Q(0,r0) =2pi aintegral0^r0l(1-tfrac2rRr)r,dr =2pi al[tfracr0^22-tfrac2r0^33Rr] tal que tfracr0^22-tfrac2r0^33R=0 ;Longrightarrow; r0^2l(tfrac12-tfrac2r03Rr)=0 ;Longrightarrow; tfrac12-tfrac2r03R=0 ;Longrightarrow; r0=tfrac3R4 .
Escrevemos a carga de até :
Queremos isso igual a zero (não vale , buscamos outra raiz):

Passo 5

(d) Carga na região Q(r0,R)=Qtotal=-tfracpi aR^23
Como a carga total de até é zero, a carga de até é simplesmente a carga total que achamos no Passo 3:

Resposta

Carga total: .
Distância para carga nula em : .
Carga na região : .

Exercícios relacionados