Questão 04 - Considere uma corda de massa \mathrm{m}=1,80 \mathrm{~g}, comprimento \mathrm{L}=60,0 \mathrm{~cm} e tensão \mathrm{F}=10,0 \mathrm{~N}. Uma onda que se propaga nesta corda é descrita pela seguinte função
y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t+\varphi)
[ \mathbf{1}, \mathbf{0 ~ P} ] a) Explique o tipo de onda que é esta em relação à sua natureza e direção de oscilação; Esta onda é uma onda progressiva ou estacionária? Explique a diferença.
[0,5 P] b) Calcule a velocidade da onda que se propaga nesta corda; essa velocidade depende de quais grandezas físicas? Explique o que acontece com a velocidade quando alteramos essas grandezas.
[0,5 P] c) Considere que a corda está fixa nas extremidades e que uma onda estacionária com quatro ventres foi formada. Qual é o comprimento de onda e a frequência deste modo de vibração?
[\mathbf{0 , 5} \mathbf{P}] d) Se aumentarmos a tensão da corda para 20,0 \mathrm{~N}, qual deve ser a frequência necessária para termos 5 ventres?

Passo 1

O enunciado descreve uma corda de massa m=1{,}80\text{ g}, comprimento L=60{,}0\text{ cm} e tensão F=10{,}0\text{ N}. Sobre essa corda propaga-se uma perturbação dada por
y(x,t)=y_{m}\,\operatorname{sen}\bigl(kx\pm\omega t+\varphi\bigr).
Pergunta-se:
a) tipo de onda (natureza, direção de oscilação, progressiva ou estacionária);
b) velocidade de propagação e sua dependência em grandezas físicas;
c) para onda estacionária com quatro ventres em extremidades fixas, determinar comprimento de onda e frequência;
d) com tensão 20{,}0\text{ N} e cinco ventres, calcular a frequência.

Passo 2

Esse é um exemplo de onda mecânica transversal: a perturbação y ocorre perpendicular à direção x de propagação. Como há o termo \pm\omega t dentro do argumento do seno, trata-se de onda progressiva (viaja ao longo da corda). Onda estacionária surge quando duas ondas progressivas de igual amplitude e frequência, mas sentidos opostos, se superpõem, resultando em ventres e nós fixos, sem transporte de energia no espaço.

Passo 3

A velocidade de uma onda numa corda homogênea sob tensão é
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}},
onde \mu é a densidade linear de massa:
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}00180\text{ kg}}{0{,}600\text{ m}}=0{,}00300\text{ kg/m}.
Substituindo F=10{,}0\text{ N}:
v=\sqrt{\frac{10{,}0}{0{,}00300}}\approx57{,}7\text{ m/s}.
Logo, v depende de F e de \mu. Se aumentarmos F, v cresce como \sqrt{F}; se aumentarmos \mu, v diminui como 1/\sqrt{\mu}.

Passo 4

Com as extremidades fixas e quatro ventres (antinodos), o número de meias-ondas é n=4. A condição de contorno é
L=n\frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{2L}{n}=\frac{2\cdot0{,}600}{4}=0{,}300\text{ m}.
A frequência desse modo é
f=\frac{v}{\lambda}=\frac{57{,}7}{0{,}300}\approx192{,}3\text{ Hz}.

Passo 5

Se a tensão passa a ser F'=20{,}0\text{ N}, a nova velocidade é
v'=\sqrt{\frac{F'}{\mu}} =\sqrt{\frac{20{,}0}{0{,}00300}}\approx81{,}7\text{ m/s}.
Para cinco ventres ( n=5):
\lambda'=\frac{2L}{5}=\frac{2\cdot0{,}600}{5}=0{,}240\text{ m},
f'=\frac{v'}{\lambda'}=\frac{81{,}7}{0{,}240}\approx340{,}4\text{ Hz}.

Resposta

a) É onda mecânica transversal, pois a vibração é perpendicular à direção de propagação; com o termo \pm\omega t é onda progressiva. Onda estacionária surge da superposição de duas progressivas opostas, formando ventres e nós fixos.
b)
\displaystyle v=\sqrt{\tfrac{F}{\mu}}\approx57{,}7\text{ m/s}. Depende de F (aumenta como \sqrt{F}) e de \mu (diminui como 1/\sqrt{\mu}).
c)
\lambda=0{,}300\text{ m},
f\approx192{,}3\text{ Hz}.
d)
\displaystyle f'\approx340{,}4\text{ Hz}.

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