Questão 03 - Considere um sistema bloco-mola amortecido, o bloco possui uma massa de 2,00 \mathrm{~kg} e a constante elástica da mola é 10,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A força de amortecimento é dada por - \mathrm{b} \frac{d x}{d t}, onde \mathrm{b}=0,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O bloco é puxado 15,0 \mathrm{~cm} para baixo e liberado.
[1,0 P] a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para metade do valor inicial.
[0,5 P] b) Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola amortecido com massa m=2{,}00\:\mathrm{kg}, constante elástica k=10{,}0\:\mathrm{N/m} e coeficiente de amortecimento b=0{,}23\:\mathrm{kg/s}. O bloco é deslocado A_0=0{,}15\:\mathrm{m} e solto. O objetivo em (a) é achar o tempo t_{1/2} em que a amplitude decai para A_0/2; em (b) calcular quantas oscilações ocorrem nesse intervalo.

Passo 2

Em um oscilador amortecido a amplitude varia como
A(t)=A_0\,e^{-\frac{b}{2m}t}\,.
Queremos A(t_{1/2})=A_0/2, logo
\frac{A_0}{2}=A_0\,e^{-\frac{b}{2m}t_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\frac{b}{2m}t_{1/2}}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{b}{2m}\,t_{1/2}=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2
\therefore t_{1/2}=\frac{2m}{b}\,\ln2 =\frac{2\cdot2{,}00}{0{,}23}\times0{,}6931 \approx12{,}1\:\mathrm{s}.

Passo 3

Para contar o número de oscilações usamos o período amortecido
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt5\approx2{,}236\:\mathrm{rad/s}, \quad \frac{b}{2m}=0{,}0575\:\mathrm{s^{-1}},
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\Bigl(\frac{b}{2m}\Bigr)^2} =\sqrt{5-0{,}003306}\approx2{,}236\:\mathrm{rad/s},
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{2{,}236}\approx2{,}81\:\mathrm{s}.
O número de oscilações em t_{1/2} é
N=\frac{t_{1/2}}{T_d} \approx\frac{12{,}1}{2{,}81}\approx4{,}3.

Resposta

a) t_{1/2}\approx12{,}1\:\mathrm{s}.
b) Aproximadamente 4{,}3 oscilações (ou seja, 4 oscilações completas).

Exercícios relacionados