Questão 04 -

Deseja-se projetar a imagem do filamento de uma lâmpada sobre uma tela que se encontra fixa a uma distância D dessa lâmpada. Para isso, posiciona-se entre eles uma lente biconvexa. Deslocando-se vagarosamente a lente desde a lâmpada até a tela, verifica-se formação de imagem nítida sobre a tela para duas posições da lente, posições essas que distam d entre si.
Admitindo que a lente seja biconvexa simétrica, feita de vidro de índice de refração \eta imersa no ar, pode-se afirmar que o raio de curvatura R comum às suas faces vale:
a) R=(\eta-1)\left(\frac{D^{2}-d^{2}}{D}\right).
b) R=(\eta-1)\left(\frac{D^{2}+d^{2}}{D}\right).
c) R=(\eta-1) \frac{d}{2 D}.
d) R=(\eta-1)\left(\frac{D^{2}-d^{2}}{2 D}\right).
e) R=(\eta-1)\left(\frac{D^{2}-d^{2}}{4 D}\right).

Passo 1

O enunciado trata de projetar um objeto (filamento) e sua imagem sobre uma tela fixa, separadas por uma distância D, usando uma lente bicôncava simétrica de índice \eta. Ao deslocar a lente entre objeto e tela, obtêm‐se duas posições nítidas distantes d. Vamos usar o método de deslocamento de lente (para achar o foco f) e a equação do fabricante de lentes delgadas (para relacionar f e o raio de curvatura R).

Passo 2

No método de deslocamento, chamamos u a distância da lente ao objeto e v a distância da lente à imagem. Como objeto e tela estão fixos,
u + v = D
e a lente satisfaz
\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}.

Passo 3

Substituindo v = D - u na equação dos vergentes:
\frac{1}{u} + \frac{1}{D - u} = \frac{1}{f} \quad\Longrightarrow\quad u(D - u) = fD \quad\Longrightarrow\quad u^2 - Du + fD = 0.
As soluções são
u_{1,2} = \frac{D \pm \sqrt{D^2 - 4fD}}{2},
e o deslocamento entre elas é \displaystyle d = u_2 - u_1 = \sqrt{D^2 - 4fD}.
Logo,
d^2 = D^2 - 4fD \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{D^2 - d^2}{4D}.

Passo 4

Para uma lente delgada bicôncava simétrica em ar temos R_1 = R e R_2 = -R. A equação do fabricante dá
\frac{1}{f} = (\eta - 1)\Bigl(\tfrac{1}{R_1} - \tfrac{1}{R_2}\Bigr) = (\eta - 1)\Bigl(\tfrac{1}{R} - \tfrac{-1}{R}\Bigr) = \frac{2(\eta - 1)}{R}.

Passo 5

Isolando R e substituindo f:
R = \frac{2(\eta - 1)}{\tfrac{1}{f}} = 2(\eta - 1)\,f = 2(\eta - 1)\,\frac{D^2 - d^2}{4D} = (\eta - 1)\,\frac{D^2 - d^2}{2D}.

Resposta

d) R=(\eta-1)\left(\dfrac{D^{2}-d^{2}}{2D}\right).

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