Questão 19 -

Um fio de seção transversal constante, massa m, densidade d e resistividade \rho é usado para construir uma espira de formato qualquer. A espira é então colocada em uma região do espaço onde há um campo perpendicular ao seu plano que varia com o tempo de acordo com B(t)=\beta t, em que \beta é uma constante positiva. Qual a máxima corrente escolhendo apropriadamente o formato da espira e as dimensões do fio?
a) \frac{\beta m}{\pi \rho d}.
b) \frac{\beta m}{2 \pi \rho d}.
c) \frac{\beta m}{4 \pi \rho d}.
d) \frac{\beta m}{\rho d}.
e) \frac{\beta m}{2 p d}.

Passo 1

O enunciado dá um fio de seção transversal constante, massa m, densidade d (massa por volume) e resistividade \rho. Esse fio forma uma espira de contorno arbitrário, imersa num campo magnético perpendicular ao plano da espira que varia segundo B(t)=\beta\,t. Precisamos usar a Lei de Faraday para encontrar a fem induzida, a relação entre massa e dimensões do fio para achar a resistência e, por fim, escolher o formato que maximize a corrente.

Passo 2

A fem induzida na espira é dada por
\varepsilon = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|
onde \Phi = B\,A é o fluxo magnético e A a área da espira. Como B(t)=\beta\,t, temos
\varepsilon = \beta\,A.

Passo 3

Seja L o comprimento total do fio e a sua área de seção reta. O volume do fio é a\,L e sua massa é
m = d\,(a\,L) \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{m}{d\,L}.
A resistência elétrica da espira é
R = \rho\,\frac{L}{a} = \rho\,\frac{L}{\tfrac{m}{d\,L}} = \frac{\rho\,d\,L^2}{m}.

Passo 4

A corrente induzida vale
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\beta\,A}{\tfrac{\rho\,d\,L^2}{m}} = \frac{\beta\,A\,m}{\rho\,d\,L^2}.
Para um dado L, a área máxima contida num contorno de comprimento L é a de um círculo:
A_{\max} = \frac{L^2}{4\pi}.
Substituindo em I obtemos a corrente máxima
I_{\max} = \frac{\beta\,\bigl(\tfrac{L^2}{4\pi}\bigr)\,m}{\rho\,d\,L^2} = \frac{\beta\,m}{4\pi\,\rho\,d}.

Resposta

\displaystyle \frac{\beta\,m}{4\pi\,\rho\,d} (alternativa c)

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