Questão 03
Uma circunferência de raio unitário foi centrada na origem de um plano cartesiano. A partir do ponto
, foi feita uma rotação de
no sentido anti-horário, originando o ponto B .
Determine as coordenadas do ponto B.
Determine as coordenadas do ponto B.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há uma circunferência de raio unitário centrada na origem.
- O ponto
está no ângulo (isto é, sobre o eixo positivo ). - A partir de
foi feita uma rotação de no sentido anti-horário, originando o ponto .
O que se pede: determinar as coordenadas do ponto.
Passo 2
Entendendo o que significa um ponto na circunferência unitária: qualquer ponto da circunferência de raio
centrada na origem, associado a um ângulo
medido a partir do eixo positivo
no sentido anti-horário, tem coordenadas
Aqui
é a coordenada
e
é a coordenada
. Isso vem diretamente da definição geométrica do seno e cosseno na circunferência unitária.
Passo 3
Calcular o ângulo do ponto
: como partimos de
com ângulo
e giramos
no sentido anti-horário, o ângulo associado a
é
Portanto
é o ponto da circunferência unitária correspondente a
.
Passo 4
Determinar o sinal de seno e cosseno em
: o ângulo
está entre
e
, ou seja, no terceiro quadrante. No terceiro quadrante tanto o cosseno quanto o seno são negativos. Logo esperamos
e
.
Passo 5
Usar uma relação com ângulos notáveis: escrevemos
As fórmulas de soma para os ângulos especiais dão, pela simetria da circunferência,
Aplicando com
obtemos
Passo 6
Lembrando os valores exatos para o ângulo notável
:
Substituindo nas expressões do passo anterior:
Passo 7
Portanto as coordenadas do ponto
, que são
, ficam