Questão 03

Uma circunferência de raio unitário foi centrada na origem de um plano cartesiano. A partir do ponto \mathrm{A}\left(0^{\circ}\right), foi feita uma rotação de 210^{\circ} no sentido anti-horário, originando o ponto B .
Determine as coordenadas do ponto B.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há uma circunferência de raio unitário centrada na origem.
  • O ponto A está no ângulo \,0^\circ (isto é, sobre o eixo positivo x).
  • A partir de A foi feita uma rotação de 210^\circ no sentido anti-horário, originando o ponto B.
    O que se pede: determinar as coordenadas do ponto B.

Passo 2

Entendendo o que significa um ponto na circunferência unitária: qualquer ponto da circunferência de raio 1 centrada na origem, associado a um ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário, tem coordenadas
(\cos\theta,\;\sin\theta).
Aqui \cos\theta é a coordenada x e \sin\theta é a coordenada y. Isso vem diretamente da definição geométrica do seno e cosseno na circunferência unitária.

Passo 3

Calcular o ângulo do ponto B: como partimos de A com ângulo 0^\circ e giramos 210^\circ no sentido anti-horário, o ângulo associado a B é
0^\circ + 210^\circ = 210^\circ.
Portanto B é o ponto da circunferência unitária correspondente a \theta=210^\circ.

Passo 4

Determinar o sinal de seno e cosseno em 210^\circ: o ângulo 210^\circ está entre 180^\circ e 270^\circ, ou seja, no terceiro quadrante. No terceiro quadrante tanto o cosseno quanto o seno são negativos. Logo esperamos \cos210^\circ<0 e \sin210^\circ<0.

Passo 5

Usar uma relação com ângulos notáveis: escrevemos
210^\circ = 180^\circ + 30^\circ.
As fórmulas de soma para os ângulos especiais dão, pela simetria da circunferência,
\cos(180^\circ+\alpha) = -\cos\alpha,\qquad \sin(180^\circ+\alpha) = -\sin\alpha.
Aplicando com \alpha=30^\circ obtemos
\cos210^\circ = -\cos30^\circ,\qquad \sin210^\circ = -\sin30^\circ.

Passo 6

Lembrando os valores exatos para o ângulo notável 30^\circ:
\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin30^\circ = \frac{1}{2}.
Substituindo nas expressões do passo anterior:
\cos210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin210^\circ = -\frac{1}{2}.

Passo 7

Portanto as coordenadas do ponto B, que são (\cos210^\circ,\sin210^\circ), ficam
\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\; -\frac{1}{2}\right).

Resposta

\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)

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