QUESTÃO 04: (IFPE - 2025) Uma empresa que fabrica camisas personalizadas recebeu um pedido de um bloco de rua para criar camisas exclusivas para o Carnaval de Recife. O custo total de produção, em reais, é dado pela função
, em que x é o número de camisas vendidas. A receita total obtida com a venda das camisas é dada pela função
, em que x também representa a quantidade de camisas vendidas. Qual o número mínimo de camisas que a empresa precisa vender para evitar prejuízo?
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções (peguei-as do enunciado):
- Função custo total:
, onde é o número de camisas vendidas e está em reais. - Função receita total:
, onde é o número de camisas vendidas e está em reais.
O que a questão pede:
- Determinar o número mínimo de camisas que a empresa precisa vender para evitar prejuízo.
Observações sobre o que foi dado (apenas listar informação, sem resolver ainda):
- O termo
em representa o custo variável por camisa (custo por unidade multiplicado por ). - O termo
em representa o custo fixo (despesas que existem independente de quantas camisas se produzem). - A função
indica que cada camisa é vendida por reais.
Passo 2
Entender o conceito-chave: “evitar prejuízo” significa que o lucro (ou lucro líquido) não pode ser negativo. Vamos definir a função lucro e explicar cada passo.
Definição da função lucro:
Aqui:
-
é o lucro total em reais quando se vendem camisas. -
é a receita total obtida com a venda de camisas. -
é o custo total de produzir camisas.
Agora substituímos as funções dadas na definição de lucro. Primeiro escrevo
e
:
Passo 3
Calcular explicitamente a função lucro passo a passo (expandindo e simplificando):
Primeiro escrevemos a diferença:
Agora efetuamos a subtração, lembrando de distribuir o sinal menos:
Agrupando os termos semelhantes (os termos em
):
Calculando
:
Explicação didática: o coeficiente
em
é a margem por camisa (preço de venda menos custo variável por camisa). O termo
é que precisa ser “coberto” pelas margens das camisas para atingir o ponto sem prejuízo.
Passo 4
Traduzir “evitar prejuízo” em uma desigualdade e resolver passo a passo.
Evitar prejuízo significa ter lucro maior ou igual a zero:
Substituindo a expressão encontrada para
:
Isolamos
. Primeiro somamos
em ambos os lados:
Agora dividimos ambos os lados por
. Como
é positivo, a direção da desigualdade não muda (uma observação importante: se dividíssemos por um número negativo, a desigualdade inverte-se — mas aqui isso não acontece):
Calculamos a divisão:
Portanto:
Interpretação: a empresa precisa vender pelo menos
camisas para que o lucro seja zero ou positivo. Se vender exatamente
camisas, fica no ponto de equilíbrio (sem lucro nem prejuízo). Se vender mais de
, passa a ter lucro.
Passo 5
Verificação numérica rápida (para ficar seguro e praticar):
Calcular
,
e
usando
.
Para
:
ou seja, prejuízo de
reais (confirmando que
é insuficiente).
Para
:
ou seja, sem lucro nem prejuízo (ponto de equilíbrio).
Para
:
ou seja, lucro de
reais (já sem prejuízo).
Passo 6
Método alternativo (curto): encontrar o ponto de equilíbrio igualando receita e custo — esse método dá exatamente o mesmo resultado e é útil de decorar.
Igualando
:
Subtraindo
de ambos os lados:
logo
Isto indica o menor valor de
tal que
, ou seja, sem prejuízo.