QUESTÃO 04: (IFPE - 2025) Uma empresa que fabrica camisas personalizadas recebeu um pedido de um bloco de rua para criar camisas exclusivas para o Carnaval de Recife. O custo total de produção, em reais, é dado pela função \mathbf{C}(\mathbf{x})=\mathbf{3 0 x} \boldsymbol{+} \mathbf{7 5 0}, em que x é o número de camisas vendidas. A receita total obtida com a venda das camisas é dada pela função \mathbf{R}(\mathbf{x})=\mathbf{4 5 x}, em que x também representa a quantidade de camisas vendidas. Qual o número mínimo de camisas que a empresa precisa vender para evitar prejuízo?

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções (peguei-as do enunciado):
  • Função custo total: C(x)=30x+750, onde x é o número de camisas vendidas e C(x) está em reais.
  • Função receita total: R(x)=45x, onde x é o número de camisas vendidas e R(x) está em reais.
O que a questão pede:
  • Determinar o número mínimo de camisas que a empresa precisa vender para evitar prejuízo.
Observações sobre o que foi dado (apenas listar informação, sem resolver ainda):
  • O termo 30x em C(x) representa o custo variável por camisa (custo por unidade multiplicado por x).
  • O termo 750 em C(x) representa o custo fixo (despesas que existem independente de quantas camisas se produzem).
  • A função R(x)=45x indica que cada camisa é vendida por 45 reais.

Passo 2

Entender o conceito-chave: “evitar prejuízo” significa que o lucro (ou lucro líquido) não pode ser negativo. Vamos definir a função lucro e explicar cada passo.
Definição da função lucro:
P(x)=R(x)-C(x).
Aqui:
  • P(x) é o lucro total em reais quando se vendem x camisas.
  • R(x) é a receita total obtida com a venda de x camisas.
  • C(x) é o custo total de produzir x camisas.
Agora substituímos as funções dadas na definição de lucro. Primeiro escrevo R(x) e C(x):
R(x)=45x, \qquad C(x)=30x+750.

Passo 3

Calcular explicitamente a função lucro passo a passo (expandindo e simplificando):
Primeiro escrevemos a diferença:
P(x)=45x-(30x+750).
Agora efetuamos a subtração, lembrando de distribuir o sinal menos:
P(x)=45x-30x-750.
Agrupando os termos semelhantes (os termos em x):
P(x)=(45-30)x-750.
Calculando 45-30:
P(x)=15x-750.
Explicação didática: o coeficiente 15 em 15x é a margem por camisa (preço de venda menos custo variável por camisa). O termo -750 é que precisa ser “coberto” pelas margens das camisas para atingir o ponto sem prejuízo.

Passo 4

Traduzir “evitar prejuízo” em uma desigualdade e resolver passo a passo.
Evitar prejuízo significa ter lucro maior ou igual a zero:
P(x)\ge 0.
Substituindo a expressão encontrada para P(x):
15x-750\ge 0.
Isolamos x. Primeiro somamos 750 em ambos os lados:
15x\ge 750.
Agora dividimos ambos os lados por 15. Como 15 é positivo, a direção da desigualdade não muda (uma observação importante: se dividíssemos por um número negativo, a desigualdade inverte-se — mas aqui isso não acontece):
x\ge \frac{750}{15}.
Calculamos a divisão:
\frac{750}{15}=50.
Portanto:
x\ge 50.
Interpretação: a empresa precisa vender pelo menos 50 camisas para que o lucro seja zero ou positivo. Se vender exatamente 50 camisas, fica no ponto de equilíbrio (sem lucro nem prejuízo). Se vender mais de 50, passa a ter lucro.

Passo 5

Verificação numérica rápida (para ficar seguro e praticar):
Calcular P(49), P(50) e P(51) usando P(x)=15x-750.
Para x=49:
P(49)=15\cdot 49-750=735-750=-15,
ou seja, prejuízo de 15 reais (confirmando que 49 é insuficiente).
Para x=50:
P(50)=15\cdot 50-750=750-750=0,
ou seja, sem lucro nem prejuízo (ponto de equilíbrio).
Para x=51:
P(51)=15\cdot 51-750=765-750=15,
ou seja, lucro de 15 reais (já sem prejuízo).

Passo 6

Método alternativo (curto): encontrar o ponto de equilíbrio igualando receita e custo — esse método dá exatamente o mesmo resultado e é útil de decorar.
Igualando R(x)=C(x):
45x=30x+750.
Subtraindo 30x de ambos os lados:
15x=750,
logo
x=50.
Isto indica o menor valor de x tal que R(x)\ge C(x), ou seja, sem prejuízo.

Resposta

50 camisas.

Exercícios relacionados