QUESTÃO 01: (FUVEST - 2022) Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais que formam uma progressão aritmética crescente. As três primeiras parcelas foram de \mathrm{R} \ 120,00, \mathrm{R} $126,00 e\mathrm{R} $ 132,00 . Sabendo que, ao final, constatou-se que Joana não pagou aã19^{\mathrm{a}} parcela. Qual valor ela deve pagar na19^{\mathrm{a}}$ parcela?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo importante para resolver):
  • Joana parcelou um celular em 24 parcelas mensais que formam uma progressão aritmética crescente.
  • As três primeiras parcelas foram \mathrm{R}\$\,120{,}00, \mathrm{R}\$\,126{,}00 e \mathrm{R}\$\,132{,}00.
  • Ao final, Joana não pagou a 19^{\text{a}} parcela.
    O que o problema pede: determinar o valor da 19^{\text{a}} parcela que ela deve pagar.

Passo 2

O que é uma progressão aritmética (PA) e qual a fórmula que vamos usar.
Uma sequência é uma PA quando a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de razão da PA e vamos chamá-la de d. Se a_1 é o primeiro termo, o termo geral (o n-ésimo termo) da PA é dado por:
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Explicando cada símbolo:
  • a_n é o valor do termo de posição n (aqui, por exemplo, a_{19} é a 19ª parcela).
  • a_1 é o primeiro termo da PA (aqui a_1=\mathrm{R}\$\,120{,}00).
  • d é a razão (a diferença constante entre termos consecutivos).
    Essa fórmula vem do fato de somarmos a razão d repetidamente para avançar de um termo ao próximo: a_2=a_1+d, a_3=a_1+2d, etc.

Passo 3

Determinar a razão d a partir dos três primeiros termos fornecidos.
Calcule a diferença entre o segundo e o primeiro termo e entre o terceiro e o segundo termo:
d = 126 - 120 = 6,
d = 132 - 126 = 6.
Como as duas diferenças coincidem, a sequência é realmente uma PA com razão d=\;6 (unidade: reais por parcela).

Passo 4

Aplicar a fórmula do termo geral para encontrar a 19^{\text{a}} parcela.
Usamos a_1=\mathrm{R}\$\,120{,}00, d=6 e n=19. Substituindo em
a_n = a_1 + (n-1)\,d,
obtemos
a_{19} = 120 + (19-1)\cdot 6.
Calcule passo a passo:
19-1 = 18,
18\cdot 6 = 108,
a_{19} = 120 + 108 = 228.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida (pra ficar tranquilo): a 19^{\text{a}} parcela é \mathrm{R}\$\,228{,}00. Faz sentido porque a PA cresce de 6 em 6, então termos próximos seriam \mathrm{R}\$\,222{,}00 (18ª), \mathrm{R}\$\,228{,}00 (19ª) e \mathrm{R}\$\,234{,}00 (20ª) — tudo consistente.

Resposta

\mathrm{R}\$\,228{,}00

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