(Questão 04)
Em uma linha de produção automatizada, uma máquina deposita material sobre uma superficie curva, seguindo a trajetória r(t)=\left\langle t, t^{2}, 2\right\rangle, \operatorname{com} t \in[0,2].
O eixo z constante indica que a trajetória da máquina está em um plano horizontal.
No controle da máquina, é importante conhecer a direção perpendicular ao plano da trajetória, que corresponde ao vetor binormal da curva.
Calcule o vetor binormal B(t) da curva.
\begin{aligned} & r^{\prime}(t)=\langle 1,2 t, 0\rangle \\\ & r^{\prime \prime}(t)=\langle 0,2,0\rangle \\\ & r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)=\langle 0,0,2\rangle \\\ & \left|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)\right|=2 \\\ & B(t)=\left[r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)\right]_{1}=\langle 0,0,1\rangle \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos claramente:
  • Pede: calcular o vetor binormal B(t) da curva.
  • Dados fornecidos (peguei do enunciado):
    • A curva é r(t)=\left\langle t, t^{2}, 2\right\rangle, com t\in[0,2].
    • Derivadas já dadas:
      • r'(t)=\langle 1,2t,0\rangle.
      • r''(t)=\langle 0,2,0\rangle.
    • Também foi apresentado o produto vetorial e seu módulo (que vamos verificar e usar):
      • r'(t)\times r''(t)=\langle 0,0,2\rangle.
      • \left|r'(t)\times r''(t)\right|=2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Vetor binormal: o binormal B(t) é um vetor unitário perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal da curva. Serve para indicar a direção “fora” do plano da curva.
  • Duas maneiras equivalentes de calcular B(t):
    1. Pela definição com tangente T e normal N: B(t)=T(t)\times N(t),onde T(t)=\dfrac{r'(t)}{\lVert r'(t)\rVert} é o vetor tangente unitário e N(t)=\dfrac{T'(t)}{\lVert T'(t)\rVert} é o vetor normal unitário.
    2. Pela fórmula direta com derivadas de r: B(t)=\dfrac{r'(t)\times r''(t)}{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert}.Essa fórmula é muito prática: ela normaliza o produto vetorial entre r' e r''. O produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano formado por r' e r''; ao dividir pelo módulo obtemos um vetor unitário (o binormal).
  • Lembrete sobre produto vetorial de vetores em \mathbb{R}^3: para a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, a\times b=\left\langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\right\rangle.O módulo é \lVert a\times b\rVert=\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+\cdots}.

Passo 3

Confirmar r'(t) e r''(t) (cálculo simples para verificação):
  • Da curva r(t)=\left\langle t, t^{2}, 2\right\rangle: r'(t)=\left\langle \dfrac{d}{dt}t,\; \dfrac{d}{dt}t^{2},\; \dfrac{d}{dt}2\right\rangle=\langle 1,2t,0\rangle.
r''(t)=\left\langle 0,2,0\right\rangle.
Esses coincidem com os dados do enunciado.

Passo 4

Calcular explicitamente o produto vetorial r'(t)\times r''(t) passo a passo:
  • Aplicando a fórmula do produto vetorial para r'(t)=\langle 1,2t,0\rangle e r''(t)=\langle 0,2,0\rangle: r'(t)\times r''(t)=\left\langle (2t)\cdot 0 - 0\cdot 2,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 2 - (2t)\cdot 0\right\rangle.
  • Simplificando os termos: r'(t)\times r''(t)=\langle 0,0,2\rangle.
Isto confirma o valor informado no enunciado.

Passo 5

Calcular o módulo de r'(t)\times r''(t):
  • O vetor é \langle 0,0,2\rangle, então \left\lVert r'(t)\times r''(t)\right\rVert=\sqrt{0^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2.
Isto também coincide com o que foi apresentado.

Passo 6

Obter o binormal B(t) usando a fórmula direta:
  • Usando B(t)=\dfrac{r'(t)\times r''(t)}{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert},substituindo os valores: B(t)=\dfrac{\langle 0,0,2\rangle}{2}=\langle 0,0,1\rangle.
  • Interpretação rápida: o binormal é o vetor unitário na direção positiva do eixo z, ou seja, aponta sempre verticalmente para cima.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, mas útil para entender a geometria): calcular T, N e confirmar B=T\times N.
  • Primeiro o módulo de r'(t): \lVert r'(t)\rVert=\sqrt{1+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}}=:s(t).
  • Vetor tangente unitário: T(t)=\dfrac{r'(t)}{\lVert r'(t)\rVert}=\dfrac{1}{s(t)}\langle 1,2t,0\rangle.
  • Derivando T(t) (mostrando sem pular passos):
    • s(t)=\sqrt{1+4t^{2}} e s'(t)=\dfrac{4t}{s(t)}.
    • Diferenciando T(t)=s^{-1}\langle 1,2t,0\rangle obtém-se T'(t)=\dfrac{2}{s(t)^{3}}\langle -2t,1,0\rangle.
    • O módulo de T'(t) é \lVert T'(t)\rVert=\dfrac{2}{s(t)^{2}}.
    • Logo o vetor normal unitário é N(t)=\dfrac{T'(t)}{\lVert T'(t)\rVert}=\dfrac{1}{s(t)}\langle -2t,1,0\rangle.
  • Agora T(t)\times N(t): T(t)\times N(t)=\dfrac{1}{s(t)^{2}}\bigl\langle 1,2t,0\bigr\rangle\times\bigl\langle -2t,1,0\bigr\rangle.O produto vetorial interior dá \langle 0,0,1+4t^{2}\rangle=\langle 0,0,s(t)^{2}\rangle. Dividindo por s(t)^{2} obtemos T(t)\times N(t)=\langle 0,0,1\rangle.
  • Assim a verificação confirma que B(t)=\langle 0,0,1\rangle.

Passo 8

Interpretação física e conclusão didática (motivação para a máquina):
  • A trajetória está em um plano horizontal (o enunciado já disse que z é constante), então o binormal — que é perpendicular ao plano da curva — é vertical. O resultado \langle 0,0,1\rangle significa que a direção perpendicular ao plano da trajetória é sempre a direção positiva do eixo z, constante para todo t. Para controle da máquina, isso diz que a orientação “fora do plano” não muda ao longo do trecho, facilitando regulagens.

Resposta

\langle 0,0,1\rangle

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