(Questão 04)
Em uma linha de produção automatizada, uma máquina deposita material sobre uma superficie curva, seguindo a trajetória r(t)=\left\langle t, t^{2}, 2\right\rangle, \operatorname{com} t \in[0,2].
O eixo z constante indica que a trajetória da máquina está em um plano horizontal.
No controle da máquina, é importante conhecer a direção perpendicular ao plano da trajetória, que corresponde ao vetor binormal da curva.
Calcule o vetor binormal B(t) da curva.
O que o enunciado pede e quais dados temos claramente:
Pede: calcular o vetor binormal B(t) da curva.
Dados fornecidos (peguei do enunciado):
A curva é r(t)=\left\langle t, t^{2}, 2\right\rangle, com t\in[0,2].
Derivadas já dadas:
r'(t)=\langle 1,2t,0\rangle.
r''(t)=\langle 0,2,0\rangle.
Também foi apresentado o produto vetorial e seu módulo (que vamos verificar e usar):
r'(t)\times r''(t)=\langle 0,0,2\rangle.
\left|r'(t)\times r''(t)\right|=2.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
Vetor binormal: o binormal B(t) é um vetor unitário perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal da curva. Serve para indicar a direção “fora” do plano da curva.
Duas maneiras equivalentes de calcular B(t):
Pela definição com tangente T e normal N:B(t)=T(t)\times N(t),onde T(t)=\dfrac{r'(t)}{\lVert r'(t)\rVert} é o vetor tangente unitário e N(t)=\dfrac{T'(t)}{\lVert T'(t)\rVert} é o vetor normal unitário.
Pela fórmula direta com derivadas de r:B(t)=\dfrac{r'(t)\times r''(t)}{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert}.Essa fórmula é muito prática: ela normaliza o produto vetorial entre r' e r''. O produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano formado por r' e r''; ao dividir pelo módulo obtemos um vetor unitário (o binormal).
Lembrete sobre produto vetorial de vetores em \mathbb{R}^3: para a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle,a\times b=\left\langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\right\rangle.O módulo é \lVert a\times b\rVert=\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+\cdots}.
Passo 3
Confirmar r'(t) e r''(t) (cálculo simples para verificação):
Da curva r(t)=\left\langle t, t^{2}, 2\right\rangle:r'(t)=\left\langle \dfrac{d}{dt}t,\; \dfrac{d}{dt}t^{2},\; \dfrac{d}{dt}2\right\rangle=\langle 1,2t,0\rangle.
r''(t)=\left\langle 0,2,0\right\rangle.
Esses coincidem com os dados do enunciado.
Passo 4
Calcular explicitamente o produto vetorial r'(t)\times r''(t) passo a passo:
Aplicando a fórmula do produto vetorial para r'(t)=\langle 1,2t,0\rangle e r''(t)=\langle 0,2,0\rangle:r'(t)\times r''(t)=\left\langle (2t)\cdot 0 - 0\cdot 2,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 2 - (2t)\cdot 0\right\rangle.
Simplificando os termos:r'(t)\times r''(t)=\langle 0,0,2\rangle.
Isto confirma o valor informado no enunciado.
Passo 5
Calcular o módulo de r'(t)\times r''(t):
O vetor é \langle 0,0,2\rangle, então\left\lVert r'(t)\times r''(t)\right\rVert=\sqrt{0^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2.
Isto também coincide com o que foi apresentado.
Passo 6
Obter o binormal B(t) usando a fórmula direta:
UsandoB(t)=\dfrac{r'(t)\times r''(t)}{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert},substituindo os valores:B(t)=\dfrac{\langle 0,0,2\rangle}{2}=\langle 0,0,1\rangle.
Interpretação rápida: o binormal é o vetor unitário na direção positiva do eixo z, ou seja, aponta sempre verticalmente para cima.
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, mas útil para entender a geometria): calcular T, N e confirmar B=T\times N.
Primeiro o módulo de r'(t):\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{1+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}}=:s(t).
O módulo de T'(t) é \lVert T'(t)\rVert=\dfrac{2}{s(t)^{2}}.
Logo o vetor normal unitário éN(t)=\dfrac{T'(t)}{\lVert T'(t)\rVert}=\dfrac{1}{s(t)}\langle -2t,1,0\rangle.
Agora T(t)\times N(t):T(t)\times N(t)=\dfrac{1}{s(t)^{2}}\bigl\langle 1,2t,0\bigr\rangle\times\bigl\langle -2t,1,0\bigr\rangle.O produto vetorial interior dá \langle 0,0,1+4t^{2}\rangle=\langle 0,0,s(t)^{2}\rangle. Dividindo por s(t)^{2} obtemosT(t)\times N(t)=\langle 0,0,1\rangle.
Assim a verificação confirma que B(t)=\langle 0,0,1\rangle.
Passo 8
Interpretação física e conclusão didática (motivação para a máquina):
A trajetória está em um plano horizontal (o enunciado já disse que z é constante), então o binormal — que é perpendicular ao plano da curva — é vertical. O resultado \langle 0,0,1\rangle significa que a direção perpendicular ao plano da trajetória é sempre a direção positiva do eixo z, constante para todo t. Para controle da máquina, isso diz que a orientação “fora do plano” não muda ao longo do trecho, facilitando regulagens.