Questăo 04 - (1.2 pontos) Uma amostra de sólidos apresentou a seguinte análise com peneiras do sistema Tyler disposto abaixo, a) Calcule os valores das curvas cumulativas de tamanho menor e de tamanho maior. b) Calcule o diâmetro médio de Sauter a partir dos dados de peneiramento. Obs: \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Utilizar 04 (quatro) casas decimais sem aproximação. Questōes que não respeitarem esta orientação serão desconsideradas
Peneira (mesh) 10 \rightarrow inof 14 20 25 30 35 50 70 100
Massa (g) 0,0060 0,0540 0,8600 1,8600 2,5800 2,8100 0,9600 0,6200 0,2500

Passo 1

O enunciado dá as massas retidas m_i (em gramas) em cada malha Tyler de abertura d_i. Pede:
a) as curvas cumulativas de tamanho maior (retido) e de tamanho menor (passante);
b) o diâmetro médio de Sauter D_{32}.
Para resolver, vamos precisar somar as massas para obter o total, calcular frações de massa e acumulados, e usar a fórmula
D_{32}=\frac{\sum_i w_i\,d_i^3}{\sum_i w_i\,d_i^2}
onde w_i=m_i/m_{\rm tot} e d_i é a abertura da malha i.

Passo 2

Calcular o total da amostra e as frações de massa:
m_{\rm tot}=\sum_i m_i=0,0060+0,0540+0,8600+1,8600+2,5800+2,8100+0,9600+0,6200+0,2500=10,0000\\ {\rm g}
w_i=\frac{m_i}{m_{\rm tot}}\quad\Rightarrow\quad \{w_{10}=0,0006,\;w_{14}=0,0054,\;w_{20}=0,0860,\;w_{25}=0,1860,\; w_{30}=0,2580,\;w_{35}=0,2810,\;w_{50}=0,0960,\;w_{70}=0,0620,\;w_{100}=0,0250\}.

Passo 3

Definimos o acumulado retido até a malha j como
Q_j=\sum_{i\le j}w_i
e o acumulado passante
P_j=1-Q_j.
Usando quatro casas decimais sem arredondar, obtemos para cada malha:
10 mesh: Q=0,0006, P=0,9994
14 mesh: Q=0,0060, P=0,9940
20 mesh: Q=0,0920, P=0,9080
25 mesh: Q=0,2780, P=0,7220
30 mesh: Q=0,5360, P=0,4640
35 mesh: Q=0,8170, P=0,1830
50 mesh: Q=0,9130, P=0,0870
70 mesh: Q=0,9750, P=0,0250
100 mesh: Q=1,0000, P=0,0000

Passo 4

Para D_{32} usamos as aberturas padrão (em milímetros):
\{d_{10}=2,000,\;d_{14}=1,410,\;d_{20}=0,841,\;d_{25}=0,707,\; d_{30}=0,595,\;d_{35}=0,500,\;d_{50}=0,297,\;d_{70}=0,212,\;d_{100}=0,149\}.
Calculamos os somatórios
\sum_i w_i\,d_i^2=0,3403,\qquad \sum_i w_i\,d_i^3=0,2294
(em unidades \text{mm}^2 e \text{mm}^3, respectivamente), de modo que
D_{32} =\frac{\sum_i w_i\,d_i^3}{\sum_i w_i\,d_i^2} =\frac{0,2294}{0,3403}\approx0,6748\\ {\rm mm}.

Resposta

a) Curvas cumulativas (retido Q, passante P):
10 mesh: Q=0,0006, P=0,9994
14 mesh: Q=0,0060, P=0,9940
20 mesh: Q=0,0920, P=0,9080
25 mesh: Q=0,2780, P=0,7220
30 mesh: Q=0,5360, P=0,4640
35 mesh: Q=0,8170, P=0,1830
50 mesh: Q=0,9130, P=0,0870
70 mesh: Q=0,9750, P=0,0250
100 mesh: Q=1,0000, P=0,0000
b) Diâmetro médio de Sauter:
D_{32}=0,6748\\ {\rm mm}.

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