Questão 05 ( 2,0 pontos). Calcule \iint_{B} \frac{\cos (x-y)}{\operatorname{sen}(x+y)} d x d y, onde B é um trapézio, 1 \leq x+y \leq 2, x \geq 0 e y \geq 0. Para isso, siga os seguintes passos: (i) Mudança de Variável, (ii) Determinar - Jacobiano, (iii) Reescrever a Regiāo B, (iv) Reescrever a Integral Dupla, e (v) Calcular a Integral.
onde a região B é o trapézio do primeiro quadrante definido por:
1 \leq x+y \leq 2,
x \geq 0,
y \geq 0.
O que é solicitado, passo a passo: (i) fazer uma mudança de variável, (ii) determinar o jacobiano, (iii) reescrever a região B nas novas variáveis, (iv) reescrever a integral dupla e (v) calcular a integral.
Passo 2
Escolha da mudança de variável. Uma escolha natural aqui é
u = x+y,\qquad v = x-y.
Por que essa escolha? Porque a integranda tem exatamente \cos(x-y) e \operatorname{sen}(x+y); com u,v esses argumentos ficam simplesmente \cos v e \operatorname{sen} u, o que deve simplificar muito a integral.
Invertendo a transformação para expressar x,y em função de u,v:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{u-v}{2}.
Estas fórmulas serão usadas para o jacobiano e para traduzir as restrições da região.
Passo 3
Cálculo do jacobiano. O jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
Breve interpretação didática: o jacobiano mede quanto uma pequena área em (u,v) é esticada/compactada quando mapeada para (x,y); aqui cada unidade de área em (u,v) corresponde a \tfrac{1}{2} unidade de área em (x,y).]
Passo 4
Reescrever a região B em termos de u,v.
As condições originais são 1\le x+y\le 2, x\ge 0, y\ge 0. Como u=x+y, a primeira condição vira simplesmente
1 \le u \le 2.
As desigualdades x\ge0 e y\ge0 escritas com a inversa da transformação x=(u+v)/2 e y=(u-v)/2 dão:
\frac{u+v}{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad v \ge -u,
\frac{u-v}{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad v \le u.
Combinando tudo, a região B em coordenadas (u,v) é
R = \{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\\\ -u \le v \le u\}.
Em palavras: para cada u entre 1 e 2, v varia de -u a u.
Passo 5
Reescrever a integral dupla usando a mudança de variáveis.
A integranda original é \dfrac{\cos(x-y)}{\operatorname{sen}(x+y)}. Em (u,v) isso fica \dfrac{\cos v}{\operatorname{sen} u}. Multiplicando pelo jacobiano \tfrac{1}{2} obtemos a integral equivalente