Questão 05 ( 2,0 pontos). Calcule \iint_{B} \frac{\cos (x-y)}{\operatorname{sen}(x+y)} d x d y, onde B é um trapézio, 1 \leq x+y \leq 2,
x \geq 0 e y \geq 0. Para isso, siga os seguintes passos: (i) Mudança de Variável, (ii) Determinar - Jacobiano, (iii) Reescrever a Regiāo B, (iv) Reescrever a Integral Dupla, e (v) Calcular a Integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \frac{\cos(x-y)}{\operatorname{sen}(x+y)}\,dx\,dy,
onde a região B é o trapézio do primeiro quadrante definido por:
  • 1 \leq x+y \leq 2,
  • x \geq 0,
  • y \geq 0.
O que é solicitado, passo a passo: (i) fazer uma mudança de variável, (ii) determinar o jacobiano, (iii) reescrever a região B nas novas variáveis, (iv) reescrever a integral dupla e (v) calcular a integral.

Passo 2

Escolha da mudança de variável. Uma escolha natural aqui é
u = x+y,\qquad v = x-y.
Por que essa escolha? Porque a integranda tem exatamente \cos(x-y) e \operatorname{sen}(x+y); com u,v esses argumentos ficam simplesmente \cos v e \operatorname{sen} u, o que deve simplificar muito a integral.
Invertendo a transformação para expressar x,y em função de u,v:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{u-v}{2}.
Estas fórmulas serão usadas para o jacobiano e para traduzir as restrições da região.

Passo 3

Cálculo do jacobiano. O jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Calculemos o determinante:
\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.
O fator de escala de área que entra na mudança de variável é o valor absoluto do jacobiano, logo
dx\,dy = \left|\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right| du\,dv = \frac{1}{2}\,du\,dv.
Breve interpretação didática: o jacobiano mede quanto uma pequena área em (u,v) é esticada/compactada quando mapeada para (x,y); aqui cada unidade de área em (u,v) corresponde a \tfrac{1}{2} unidade de área em (x,y).]

Passo 4

Reescrever a região B em termos de u,v.
As condições originais são 1\le x+y\le 2, x\ge 0, y\ge 0. Como u=x+y, a primeira condição vira simplesmente
1 \le u \le 2.
As desigualdades x\ge0 e y\ge0 escritas com a inversa da transformação x=(u+v)/2 e y=(u-v)/2 dão:
\frac{u+v}{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad v \ge -u,
\frac{u-v}{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad v \le u.
Combinando tudo, a região B em coordenadas (u,v) é
R = \{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\\\ -u \le v \le u\}.
Em palavras: para cada u entre 1 e 2, v varia de -u a u.

Passo 5

Reescrever a integral dupla usando a mudança de variáveis.
A integranda original é \dfrac{\cos(x-y)}{\operatorname{sen}(x+y)}. Em (u,v) isso fica \dfrac{\cos v}{\operatorname{sen} u}. Multiplicando pelo jacobiano \tfrac{1}{2} obtemos a integral equivalente
\iint_{B} \frac{\cos(x-y)}{\operatorname{sen}(x+y)}\,dx\,dy = \int_{u=1}^{2}\int_{v=-u}^{u} \frac{1}{2}\,\frac{\cos v}{\operatorname{sen} u}\,dv\,du.

Passo 6

Cálculo da integral. Vamos primeiro calcular a integral interna em v:
\int_{v=-u}^{u} \cos v\,dv
A anti-derivada de \cos v é \sin v. Avaliando nos limites:
\int_{-u}^{u} \cos v\,dv = \sin u - \sin(-u) = \sin u + \sin u = 2\sin u,
porque \sin é função ímpar: \sin(-u)=-\sin u.
Substituindo na integral dupla:
\int_{u=1}^{2}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\operatorname{sen} u}\left(\int_{-u}^{u}\cos v\,dv\right)du = \int_{1}^{2}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\operatorname{sen} u}\cdot\bigl(2\sin u\bigr)\,du = \int_{1}^{2} 1\,du.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{1}^{2} 1\,du = 2-1.

Resposta

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