Questão 02 (2,0 pontos).
Determine a integral iterada \int_{0}^{1} \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y\right) d x d y

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y\right)\,dx\,dy
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x, com x variando de 0 a 2.
  • A integral externa é em y, com y variando de 0 a 1.
  • A função integranda é x^{2}+y.

Passo 2

Ideia e regras básicas (do jeitinho que se usa na prova).
  • Numa integral iterada \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dx\right)dy, ao calcular a integral interna em x trata-se y como constante. Depois integra-se o resultado em y.
  • Regras de integração que usamos: \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq-1),
\int c\,dx = c x + C\quad\text{(se \(c\) é constante)},é
e a linearidade
\int (u+v)\,dx = \int u\,dx + \int v\,dx.
Vou aplicar essas regras primeiro à integral interna em x.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y\right)\,dx.
  • Antiderivada em relação a x: \int\left(x^{2}+y\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+yx + C,porque \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e \int y\,dx = yx (aqui y é constante).
  • Avaliando entre x=0 e x=2: \left.\left(\frac{x^{3}}{3}+yx\right)\right|_{0}^{2}=\left(\frac{2^{3}}{3}+y\cdot 2\right)-\left(0+0\right)=\frac{8}{3}+2y.
Logo a integral dupla vira
\int_{0}^{1}\left(\frac{8}{3}+2y\right)\,dy.

Passo 4

Agora calcular a integral externa em y:
  • Antiderivada de \dfrac{8}{3}+2y em relação a y: \int\left(\frac{8}{3}+2y\right)\,dy=\frac{8}{3}y + 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=\frac{8}{3}y+y^{2}+C.
  • Avaliando entre y=0 e y=1: \left.\left(\frac{8}{3}y+y^{2}\right)\right|_{0}^{1}=\left(\frac{8}{3}\cdot 1 + 1^{2}\right)-0=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}.

Passo 5

Checagem rápida e interpretação (pra te dar segurança):
  • A função x^{2}+y é não-negativa no retângulo [0,2]\times[0,1], então faz sentido obter um resultado positivo.
  • A média da função sobre a região seria \dfrac{1}{\text{área}}\timesá integral, área = 2\cdot1=2, então média =\dfrac{11/3}{2}=\dfrac{11}{6}. Só uma verificação de coerência numérica, nada além.

Resposta

\frac{11}{3}

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