Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Informações dadas:
A integral interna é em x, com x variando de 0 a 2.
A integral externa é em y, com y variando de 0 a 1.
A função integranda é x^{2}+y.
Passo 2
Ideia e regras básicas (do jeitinho que se usa na prova).
Numa integral iterada \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dx\right)dy, ao calcular a integral interna em x trata-se y como constante. Depois integra-se o resultado em y.
Regras de integração que usamos:\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq-1),
\int c\,dx = c x + C\quad\text{(se \(c\) é constante)},
e a linearidade
\int (u+v)\,dx = \int u\,dx + \int v\,dx.
Vou aplicar essas regras primeiro à integral interna em x.
Passo 3
Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y\right)\,dx.
Antiderivada em relação a x:\int\left(x^{2}+y\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+yx + C,porque \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e \int y\,dx = yx (aqui y é constante).
Avaliando entre x=0 e x=2:\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+yx\right)\right|_{0}^{2}=\left(\frac{2^{3}}{3}+y\cdot 2\right)-\left(0+0\right)=\frac{8}{3}+2y.
Logo a integral dupla vira
\int_{0}^{1}\left(\frac{8}{3}+2y\right)\,dy.
Passo 4
Agora calcular a integral externa em y:
Antiderivada de \dfrac{8}{3}+2y em relação a y:\int\left(\frac{8}{3}+2y\right)\,dy=\frac{8}{3}y + 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=\frac{8}{3}y+y^{2}+C.
Avaliando entre y=0 e y=1:\left.\left(\frac{8}{3}y+y^{2}\right)\right|_{0}^{1}=\left(\frac{8}{3}\cdot 1 + 1^{2}\right)-0=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}.
Passo 5
Checagem rápida e interpretação (pra te dar segurança):
A função x^{2}+y é não-negativa no retângulo [0,2]\times[0,1], então faz sentido obter um resultado positivo.
A média da função sobre a região seria \dfrac{1}{\text{área}}\timesá integral, área = 2\cdot1=2, então média =\dfrac{11/3}{2}=\dfrac{11}{6}. Só uma verificação de coerência numérica, nada além.