Questão-04. (1,0 pontos/item). Determine
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva y=\sqrt[3]{x}, o eixo OX e as retas x=-1 e x=8

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=\sqrt[3]{x}\,, o eixo OX (ou seja, a reta y=0) e as retas verticais x=-1 e x=8.
A região considerada é a parte do plano entre a curva \,y=\sqrt[3]{x}\, e o eixo OX, para -1\le x\le 8.
A pergunta é: determinar o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo OX.

Passo 2

Qual método usar para calcular o volume? Quando uma região é girada em torno do eixo OX e se toma fatias verticais (paralelas ao eixo OY), cada fatia, ao girar, gera um disco (ou anel) cuja área depende da distância vertical entre a curva e o eixo. Esse é o método dos discos (ou dos discos e anéis). Aqui a região é exatamente entre a curva e o eixo OX, então cada fatia vertical gera um disco de raio igual à distância da curva ao eixo OX. Portanto o método dos discos é o mais direto.

Passo 3

Vou escrever a fórmula do método dos discos: se a região é girada em torno do eixo OX e a distância vertical entre a curva e o eixo é R(x)\ge0, então o volume é
V=\int_{a}^{b} \pi [R(x)]^{2}\,dx.
No nosso caso, para cada x a distância entre a curva \,y=\sqrt[3]{x}\, e o eixo OX é |\sqrt[3]{x}|. Ao girar essa distância em torno do eixo, o disco tem raio R(x)=|\sqrt[3]{x}|. Assim a área da secção transversal é \pi\big(|\sqrt[3]{x}|\big)^2.

Passo 4

Como \big(|\sqrt[3]{x}|\big)^2=(\sqrt[3]{x})^2 (o quadrado remove o sinal), a integral para o volume fica
V=\int_{-1}^{8} \pi \,(\sqrt[3]{x})^{2}\,dx.
É conveniente reescrever (\sqrt[3]{x})^{2} como x^{2/3}. Logo
V=\pi\int_{-1}^{8} x^{2/3}\,dx.
Observação didática: a função x^{2/3} é bem definida e contínua para números reais x (para x<0 usamos a raiz cúbica real, depois elevamos ao quadrado), por isso a integral imprópria não aparece — a integral é usual e bem definida no intervalo [-1,8].

Passo 5

Agora aplicamos a regra de integração para potências: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui p=\tfrac{2}{3}, então p+1=\tfrac{5}{3} e a primitiva é
\int x^{2/3}\,dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}=\frac{3}{5}\,x^{5/3}.

Passo 6

Avaliamo-la entre os limites x=-1 e x=8:
\int_{-1}^{8} x^{2/3}\,dx=\left[\frac{3}{5}\,x^{5/3}\right]_{-1}^{8} =\frac{3}{5}\big(8^{5/3}-(-1)^{5/3}\big).
Calculemos as potências:
  • 8^{1/3}=2, então 8^{5/3}=(8^{1/3})^{5}=2^{5}=32.
  • (-1)^{1/3}=-1 (raiz cúbica real) e assim (-1)^{5/3}=(-1)^{5}=-1.
Portanto
8^{5/3}-(-1)^{5/3}=32-(-1)=33,
e
\int_{-1}^{8} x^{2/3}\,dx=\frac{3}{5}\cdot 33=\frac{99}{5}.

Passo 7

Voltando ao volume, multiplicamos pela constante \pi:
V=\pi\cdot \frac{99}{5}=\frac{99\pi}{5}.
Esse é o volume do sólido gerado. (Se quiser uma aproximação numérica, \dfrac{99\pi}{5}\approx 19{,}8\pi\approx 62{,}2, mas a forma exata \dfrac{99\pi}{5} é a recomendada.)

Resposta

\dfrac{99\pi}{5}

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