Questão-04. (1,0 pontos/item). Determine
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva
, o eixo OX e as retas
e
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva
Passo 1
O enunciado dá a função
, o eixo
(ou seja, a reta
) e as retas verticais
e
.
A região considerada é a parte do plano entre a curva e o eixo
, para
.
A pergunta é: determinar o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo .
A região considerada é a parte do plano entre a curva
A pergunta é: determinar o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo
Passo 2
Qual método usar para calcular o volume? Quando uma região é girada em torno do eixo
e se toma fatias verticais (paralelas ao eixo
), cada fatia, ao girar, gera um disco (ou anel) cuja área depende da distância vertical entre a curva e o eixo. Esse é o método dos discos (ou dos discos e anéis). Aqui a região é exatamente entre a curva e o eixo
, então cada fatia vertical gera um disco de raio igual à distância da curva ao eixo
. Portanto o método dos discos é o mais direto.
Passo 3
Vou escrever a fórmula do método dos discos: se a região é girada em torno do eixo
e a distância vertical entre a curva e o eixo é
, então o volume é
No nosso caso, para cada
a distância entre a curva
e o eixo
é
. Ao girar essa distância em torno do eixo, o disco tem raio
. Assim a área da secção transversal é
.
Passo 4
Como
(o quadrado remove o sinal), a integral para o volume fica
É conveniente reescrever
como
. Logo
Observação didática: a função
é bem definida e contínua para números reais
(para
usamos a raiz cúbica real, depois elevamos ao quadrado), por isso a integral imprópria não aparece — a integral é usual e bem definida no intervalo
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra de integração para potências: para
,
Aqui
, então
e a primitiva é
Passo 6
Avaliamo-la entre os limites
e
:
Calculemos as potências:
-
, então . -
(raiz cúbica real) e assim .
Portanto
e
Passo 7
Voltando ao volume, multiplicamos pela constante
:
Esse é o volume do sólido gerado. (Se quiser uma aproximação numérica,
, mas a forma exata
é a recomendada.)