Questão-06. (1,0 ponto/item). Calcule as integrais indefinidas
\int \frac{x^{7}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{7}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes:
  • A função a integrar é racional em x.
  • Não há restrições adicionais; queremos uma primitiva geral (com constante de integração).
  • A integral parece complicada à primeira vista, mas dá para simplificar usando manipulações algébricas e integração por partes.

Passo 2

Observação útil (ideia que vamos usar): a derivada de \dfrac{1}{x^{3}+2} é simples:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x^{3}+2}\right) = -\frac{3x^{2}}{(x^{3}+2)^{2}}.
Multiplicando essa expressão por -\dfrac{1}{3}x^{5} obtemos exatamente o integrando original:
-\frac{1}{3}x^{5}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x^{3}+2}\right) = -\frac{1}{3}x^{5}\left(-\frac{3x^{2}}{(x^{3}+2)^{2}}\right) = \frac{x^{7}}{(x^{3}+2)^{2}}.
Portanto podemos escrever a integral como
\int \frac{x^{7}}{(x^{3}+2)^{2}}\,dx = -\frac{1}{3}\int x^{5}\,d\!\left(\frac{1}{x^{3}+2}\right).
Isto sugere aplicar a fórmula de integração por partes no formato \int u\,dv = u v - \int v\,du, tomando u=x^{5} e dv = d\!\left(\dfrac{1}{x^{3}+2}\right).

Passo 3

Aplicando integração por partes com u=x^{5} e dv=d\!\left(\dfrac{1}{x^{3}+2}\right):
  • u=x^{5} então du=5x^{4}\,dx.
  • dv=d\!\left(\dfrac{1}{x^{3}+2}\right) então v=\dfrac{1}{x^{3}+2}.
Logo
-\frac{1}{3}\int x^{5}\,d\!\left(\frac{1}{x^{3}+2}\right) = -\frac{1}{3}\left( x^{5}\cdot\frac{1}{x^{3}+2} - \int \frac{1}{x^{3}+2}\cdot 5x^{4}\,dx \right).
Distribuindo o -\dfrac{1}{3},
\int \frac{x^{7}}{(x^{3}+2)^{2}}\,dx = -\frac{x^{5}}{3(x^{3}+2)} + \frac{5}{3}\int \frac{x^{4}}{x^{3}+2}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \int \frac{x^{4}}{x^{3}+2}\,dx. Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, fazemos divisão polinomial:
\frac{x^{4}}{x^{3}+2} = x - \frac{2x}{x^{3}+2},
pois x^{4} = x(x^{3}+2) - 2x. Portanto
\int \frac{x^{4}}{x^{3}+2}\,dx = \int x\,dx - 2\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx.
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
\int \frac{x^{7}}{(x^{3}+2)^{2}}\,dx = -\frac{x^{5}}{3(x^{3}+2)} + \frac{5}{3}\left(\frac{x^{2}}{2} - 2\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx\right).
Simplificando os coeficientes,
\int \frac{x^{7}}{(x^{3}+2)^{2}}\,dx = -\frac{x^{5}}{3(x^{3}+2)} + \frac{5x^{2}}{6} - \frac{10}{3}\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx.
Restou, então, calcular
J=\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx.

Passo 5

Para calcular J=\displaystyle\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx\) fazemos a fatoração do denominador usando \(a=\sqrt[3]{2}\) (a raiz cúbica real de \(2\)). Note que \(2=a^{3}\), então \[x^{3}+2 = x^{3}+a^{3}=(x+a)\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr).
Fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{x}{x^{3}+2}=\frac{x}{(x+a)(x^{2}-ax+a^{2})} = \frac{A}{x+a} + \frac{Bx+C}{x^{2}-ax+a^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x+a)(x^{2}-ax+a^{2}) obtemos a identidade
x = A(x^{2}-ax+a^{2}) + (Bx+C)(x+a).
Expandindo e agrupando termos em potências de x obtemos o sistema (coeficientes de x^{2},x,1):
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] - A a + C + a B = 1,\\[4pt] A a^{2} + a C = 0. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da primeira equação B=-A\]. - Da terceira: \(A a^{2}+aC=0\Rightarrow C=-A a.
    - Substituindo em segunda: -A a + (-A a) + a(-A) = 1 — mais direto: usando B=-A e C=-A a a segunda vira -A a + (-A a) + a(-A)=1, isto é -3A a =1. Logo
A = -\frac{1}{3a},\qquad B=-A=\frac{1}{3a},\qquad C=\frac{1}{3}.]

Passo 6

Com A,B,C encontrados,
\frac{x}{x^{3}+2} = -\frac{1}{3a}\cdot\frac{1}{x+a} + \frac{1}{3a}\cdot\frac{x}{x^{2}-ax+a^{2}} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}-ax+a^{2}}.
Então
J=\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx = -\frac{1}{3a}\int\frac{dx}{x+a} + \frac{1}{3a}\int\frac{x\,dx}{x^{2}-ax+a^{2}} + \frac{1}{3}\int\frac{dx}{x^{2}-ax+a^{2}}.
Para a integral com \dfrac{x}{x^{2}-ax+a^{2}} escrevemos o numerador como combinação do derivado do denominador mais constante. Note que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr)=2x-a.
Escrevemos
x = \frac{1}{2}(2x-a) + \frac{a}{2}.
Portanto
\int\frac{x\,dx}{x^{2}-ax+a^{2}} = \frac{1}{2}\int\frac{2x-a}{x^{2}-ax+a^{2}}\,dx + \frac{a}{2}\int\frac{dx}{x^{2}-ax+a^{2}}.
A primeira parte dá \frac{1}{2}\ln(x^{2}-ax+a^{2}). Para a integral \int\frac{dx}{x^{2}-ax+a^{2}} completamos o quadrado:
x^{2}-ax+a^{2}=\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{3a^{2}}{4}.
Logo
\int\frac{dx}{x^{2}-ax+a^{2}} = \int \frac{dx}{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\right)^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}\,a}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right).
Compilando, temos:
\int\frac{x\,dx}{x^{2}-ax+a^{2}} = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr) + \frac{a}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}\,a}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right).
Simplificando o segundo termo:
\int\frac{x\,dx}{x^{2}-ax+a^{2}} = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right).
Agora voltamos a J. Substituindo tudo:
J = -\frac{1}{3a}\ln|x+a| + \frac{1}{3a}\left[\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right)\right] + \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}\,a}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right).
Simplificando os coeficientes das funções:
  • O termo do \ln(x^{2}-ax+a^{2}) fica com coeficiente \dfrac{1}{6a}.
  • Os termos de \arctan somam:
\frac{1}{3a}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}\,a} = \frac{1}{3\sqrt{3}\,a} + \frac{2}{3\sqrt{3}\,a} = \frac{1}{\sqrt{3}\,a}.
Portanto
J = -\frac{1}{3a}\ln|x+a| + \frac{1}{6a}\ln\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr) + \frac{1}{\sqrt{3}\,a}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right) + C.
Lembre que a=\sqrt[3]{2}.

Passo 7

Finalmente substituímos J na expressão obtida no Passo 4:
\int \frac{x^{7}}{(x^{3}+2)^{2}}\,dx = -\frac{x^{5}}{3(x^{3}+2)} + \frac{5x^{2}}{6} - \frac{10}{3}J + C.
Substituindo J e simplificando os coeficientes (cada passo com os coeficientes em TeX):
-\frac{10}{3}J = -\frac{10}{3}\left[-\frac{1}{3a}\ln|x+a| + \frac{1}{6a}\ln\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr) + \frac{1}{\sqrt{3}\,a}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right)\right]
= \frac{10}{9a}\ln|x+a| - \frac{5}{9a}\ln\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr) - \frac{10}{3\sqrt{3}\,a}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right).
Somando os termos, obtemos a primitiva desejada:
\int \frac{x^{7}}{(x^{3}+2)^{2}}\,dx = -\frac{x^{5}}{3(x^{3}+2)} + \frac{5x^{2}}{6} + \frac{10}{9a}\ln|x+a| - \frac{5}{9a}\ln\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr) - \frac{10}{3\sqrt{3}\,a}\arctan\!\left(\frac{2x-a}{\sqrt{3}\,a}\right) + C,
onde a=\sqrt[3]{2} e C é a constante de integração.

Resposta

-\frac{x^{5}}{3(x^{3}+2)} + \frac{5x^{2}}{6} + \frac{10}{9\sqrt[3]{2}}\ln\!\bigl|x+\sqrt[3]{2}\bigr| - \frac{5}{9\sqrt[3]{2}}\ln\!\bigl(x^{2}-\sqrt[3]{2}\,x+(\sqrt[3]{2})^{2}\bigr) - \frac{10}{3\sqrt{3}\,\sqrt[3]{2}}\arctan\!\left(\frac{2x-\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3}\,\sqrt[3]{2}}\right) + C

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