Isto sugere aplicar a fórmula de integração por partes no formato \int u\,dv = u v - \int v\,du, tomando u=x^{5} e dv = d\!\left(\dfrac{1}{x^{3}+2}\right).
Passo 3
Aplicando integração por partes com u=x^{5} e dv=d\!\left(\dfrac{1}{x^{3}+2}\right):
u=x^{5} então du=5x^{4}\,dx.
dv=d\!\left(\dfrac{1}{x^{3}+2}\right) então v=\dfrac{1}{x^{3}+2}.
Agora calculamos \displaystyle \int \frac{x^{4}}{x^{3}+2}\,dx. Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, fazemos divisão polinomial:
Para calcular J=\displaystyle\int \frac{x}{x^{3}+2}\,dx\) fazemos a fatoração do denominador usando \(a=\sqrt[3]{2}\) (a raiz cúbica real de \(2\)). Note que \(2=a^{3}\), então
\[x^{3}+2 = x^{3}+a^{3}=(x+a)\bigl(x^{2}-ax+a^{2}\bigr).
Multiplicando ambos os lados por (x+a)(x^{2}-ax+a^{2}) obtemos a identidade
x = A(x^{2}-ax+a^{2}) + (Bx+C)(x+a).
Expandindo e agrupando termos em potências de x obtemos o sistema (coeficientes de x^{2},x,1):
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] - A a + C + a B = 1,\\[4pt] A a^{2} + a C = 0. \end{cases}
Resolvendo:
Da primeira equação B=-A\].
- Da terceira: \(A a^{2}+aC=0\Rightarrow C=-A a.
- Substituindo em segunda: -A a + (-A a) + a(-A) = 1 — mais direto: usando B=-A e C=-A a a segunda vira -A a + (-A a) + a(-A)=1, isto é -3A a =1. Logo
A = -\frac{1}{3a},\qquad B=-A=\frac{1}{3a},\qquad C=\frac{1}{3}.]