Sejam V um espaço vetorial com produto interno e v, w in V. Defina a função T: U longrightarrow V por T(u)=lang<= u, vrang<= w, forall u in V.
Suponha V=C^n com o produto interno usual e escreva v=(alpha1, cdots, alphan) e w=(beta1, cdots, betan). Qual é o elemento aj k da matriz de T em relação à base canônica de V ? Qual é o posto de tal matriz?

Passo 1

O enunciado define em V=C^n o operador linear
Tcolon Vto V, T(u)=lang<= u,vrang<=,w
onde
v=(alpha1,dots,alphan), w=(beta1,dots,betan)
e pede (i) o elemento ajk da matriz de T na base canônica e1,dots,en e (ii) o posto dessa matriz. Vamos usar que, na base canônica,
T(ek)=sumj=1^n ajk,ej
e que lang<= ek,vrang<= é simplesmente o k-ésimo componente de v.

Passo 2

Para cada vetor da base canônica ek temos
T(ek)=lang<= ek,vrang<=,w
Como o produto interno usual em C^n é
lang<= x,yrang<==sumi=1^nxi,yi,
temos lang<= ek,vrang<==alphak. Logo
T(ek)=alphak,(beta1,dots,betan)

Passo 3

Agora escrevemos T(ek) em coordenadas da base canônica:
T(ek)=(alphakbeta1,;alphakbeta2,;dots,;alphakbetan) =sumj=1^n(alphakbetaj),ej
Por comparação com sumj ajkej, vemos que
ajk=alphak,betaj

Passo 4

Em termos de matrizes, A=(ajk) é o produto externo de w por v:
A =beta1beta2vdotsbetan (alpha1,alpha2,dots,alphan) =w;v
Uma matriz dada por um produto externo de dois vetores tem posto no máximo 1, e vale exatamente 1 se e somente se ambos os vetores forem não-nulos.

Resposta

O elemento genérico da matriz é
ajk=alphak,betaj,
e
rank(A)= 1,&se vneq0 e wneq0, 0,&caso contrário á

Exercícios relacionados