Questão 04: Responda se a soma dos U 's abaixo formam somas diretas.
U1=(x, y, 0) in R^3: x, y in R, U2=(0,0, z) in R^3: z in R.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3:
U1=(x,y,0)colon x,yinR e
U2=(0,0,z)colon zinR.
Queremos saber se a soma U1+U2 é direta, isto é, se cada vetor da soma tem representação única. Pela teoria, isso acontece exatamente quando
U1cap U2 = (0,0,0)

Passo 2

Calculemos a intersecção. Seja
v in U1cap U2
Então existem x,y,zinR tais que
v=(x,y,0)e v=(0,0,z)
Igualando as coordenadas obtemos
x=0, y=0, 0=z;Rightarrow;z=0,
logo v=(0,0,0).

Passo 3

Como U1cap U2=(0,0,0), a soma é direta. Além disso, qualquer (a,b,c)inR^3 se escreve
(a,b,c)=(a,b,0)+(0,0,c)in U1+U2,
logo U1+U2=R^3 e a decomposição é única.

Resposta

Sim. Tem-se
U1oplus U2=R^3,
isto é, U1+U2 é uma soma direta.

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