Questão 03: Sejam e subespaços vetoriais gerados respectivamente pelos 's e 's abaixo indicados.
  • e
  • .
Encontre as dimensões e bases para e .
Resolução: Precisamos investigar o sistema linear
Seja e . As dimensões de e são , respectivamente. Basta calcular o posto das matrizes abaixo. é uma base para formam uma base para .
-->VT = [1 2 -1 -2;3 1 1 1;-1 0 1 -1]
VT =
1. 2. -1. -2.
3. 1. 1. 1.
-1. 0. 1. -1.
-->V = VT'
V =
1. 3. -1.
2. 1. 0.
-1. 1. 1.
-2. 1. -1.
-->UT = [2 5 -6 -5;-1 2 -7 3 ]
UT =
    2. 5. -6. -5.
    -1. 2. -7. 3.
-->U = UT'
    U =
  1. -1 .
-6. -7.
.
-->X = [V,U]
X =
1. 3. -1. 2. -1.
2. 1. 0. 5. 2.
-1. 1. 1. -6. -7.
-2. 1. -1. -5. 3.
-->rank(X)
ans =
-->rank(X(:,1:3))
ans =
-->rank(X(:,4:5))
ans =

Passo 1

O enunciado define
W1 = spanv^1,v^2,v^3 com
v^1=(1,2,-1,-2)^T, v^2=(3,1,1,1)^T, v^3=(-1,0,1,-1)^T
e
W2 = spanu^1,u^2 com
u^1=(2,5,-6,-5)^T, u^2=(-1,2,-7,3)^T
Pede-se a dimensão e uma base de W1cap W2 e de W1+W2. Usaremos rank de matrizes e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Para achar formamos a matriz cujas colunas são :
Como , segue
e uma base de é .

Passo 3

Para achar formamos a matriz com colunas :
Como , segue
e uma base de é .

Passo 4

O subespaço W1cap W2 são vetores que estão em ambos os espaços. Testamos se u^1 e u^2 estão em W1.
Resolver Valpha = u^1 dá a solução única
alpha = (3,,-1,,-2)^T,
logo
u^1 = 3,v^1 ;-; v^2 ;-; 2,v^3;in W1
Em revanche, não existe solução de Valpha = u^2, logo u^2notin W1.
Portanto
W1cap W2 = spanu^1,
de onde
dim(W1cap W2) = 1
e uma base é u^1.

Passo 5

Pela fórmula
dim(W1+W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1cap W2) = 3 + 2 - 1 = 4
Para a base de W1+W2, unimos as bases de W1 e W2 e removemos vetores dependentes. Como u^1in W1, basta acrescentar u^2 a v^1,v^2,v^3. Assim
W1+W2 = spanv^1,v^2,v^3,u^2,
e uma base é v^1,v^2,v^3,u^2.

Resposta

dim(W1cap W2) = 1, base u^1.
dim(W1+W2) = 4, base v^1,v^2,v^3,u^2.

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