Questão 03: Sejam
e
subespaços vetoriais gerados respectivamente pelos
's e
's abaixo indicados.
-
e
-
.
Encontre as dimensões e bases para
e
.
Resolução: Precisamos investigar o sistema linear
Seja
e
. As dimensões de
e
são
, respectivamente. Basta calcular o posto das matrizes abaixo.
é uma base para
formam uma base para
.
-->VT = [1 2 -1 -2;3 1 1 1;-1 0 1 -1]
VT =
1.
2.
-1.
-2.
3.
1.
1.
1.
-1.
0.
1.
-1.
-->V = VT'
V =
1.
3.
-1.
2.
1.
0.
-1.
1.
1.
-2.
1.
-1.
-->UT = [2 5 -6 -5;-1 2 -7 3 ]
UT =
2. 5. -6. -5.
-1. 2. -7. 3.
-->U = UT'
U =
- -1 .
-
-6. -7.
.
-->X = [V,U]
X =
1.
3.
-1.
2.
-1.
2.
1.
0.
5.
2.
-1.
1.
1.
-6.
-7.
-2.
1.
-1.
-5.
3.
-->rank(X)
ans =
-->rank(X(:,1:3))
ans =
-->rank(X(:,4:5))
ans =
Resolução: Precisamos investigar o sistema linear
-->VT = [1 2 -1 -2;3 1 1 1;-1 0 1 -1]
VT =
1. | 2. | -1. | -2. |
3. | 1. | 1. | 1. |
-1. | 0. | 1. | -1. |
-->V = VT'
V =
1. | 3. | -1. |
2. | 1. | 0. |
-1. | 1. | 1. |
-2. | 1. | -1. |
-->UT = [2 5 -6 -5;-1 2 -7 3 ]
UT =
2. 5. -6. -5.
-1. 2. -7. 3.
-->U = UT'
U =
-->X = [V,U]
X =
1. | 3. | -1. | 2. | -1. |
2. | 1. | 0. | 5. | 2. |
-1. | 1. | 1. | -6. | -7. |
-2. | 1. | -1. | -5. | 3. |
-->rank(X)
ans =
-->rank(X(:,1:3))
ans =
-->rank(X(:,4:5))
ans =
Passo 1
O enunciado define
com
e
com
Pede-se a dimensão e uma base de
e de
. Usaremos rank de matrizes e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Para achar
formamos a matriz cujas colunas são
:
Como , segue
e uma base de
é
.
Passo 3
Para achar
formamos a matriz com colunas
:
Como , segue
e uma base de
é
.
Passo 4
O subespaço
W1cap W2 são vetores que estão em ambos os espaços. Testamos se
u^1 e
u^2 estão em
W1 .
ResolverValpha = u^1 dá a solução única
Resolver
logo
Em revanche, não existe solução de
Valpha = u^2 , logo
u^2notin W1 .
Portanto
Portanto
de onde
e uma base é
u^1 .
Passo 5
Pela fórmula
Para a base de
W1+W2 , unimos as bases de
W1 e
W2 e removemos vetores dependentes. Como
u^1in W1 , basta acrescentar
u^2 a
v^1,v^2,v^3 . Assim
e uma base é
v^1,v^2,v^3,u^2 .