Questão 04: (0,5) Seja a \in \mathbb{R}. Prove que (-1) a=-a.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para todo a\in\mathbb{R}, vale a igualdade
(-1)a = -a.
Informações e propriedades que vamos usar (axiomas dos números reais):
  • Para todo x existe um único inverso aditivo, denotado por -x, tal que x+(-x)=0.
  • 1 é o elemento neutro multiplicativo: 1\cdot x = x para todo x.
  • -1 é o inverso aditivo de 1, ou seja 1+(-1)=0.
  • A multiplicação é distributiva em relação à adição: (x+y)z = xz + yz para todos x,y,z.
  • Existe o elemento neutro aditivo 0 e vale 0\cdot x = 0 para todo x (vamos provar essa propriedade quando for necessária).
    Não vamos assumir nada além desses fatos básicos.

Passo 2

Estratégia de prova (curta e clássica): mostrar que (-1)a + a = 0. Se conseguirmos isso, então (-1)a é um elemento que somado a a 0, ou seja é um inverso aditivo de a. Pelo fato de o inverso aditivo ser único, segue que (-1)a = -a. Agora fazemos as contas para mostrar (-1)a + a = 0.

Passo 3

Começamos calculando (-1)a + a. Usando que a = 1\cdot a e a distributividade, temos:
(-1)a + a = (-1)a + 1\cdot a = \bigl((-1)+1\bigr)a.
Aqui usei explicitamente que a = 1\cdot a e que (x+y)z = xz + yz (distributividade) aplicada com x=-1, y=1 e z=a.

Passo 4

Agora note que (-1)+1 = 0 porque -1 é o inverso aditivo de 1. Substituindo:
\bigl((-1)+1\bigr)a = 0\cdot a.
Portanto
(-1)a + a = 0\cdot a.

Passo 5

Mostro que 0\cdot a = 0 para todo a. Prova curta: usando distributividade,
0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a.
Somando o inverso aditivo de 0\cdot a aos dois lados (ou seja, adicionando -0\cdot a), obtemos 0 = 0\cdot a. Assim concluímos que
0\cdot a = 0.

Passo 6

Voltando ao que tinhamos, das igualdades anteriores obtemos
(-1)a + a = 0\cdot a = 0.
Logo (-1)a é um inverso aditivo de a. Pelo fato de o inverso aditivo ser único (se b e c satisfazem a+b=0 e a+c=0 então b=c), segue que (-1)a coincide com -a. Portanto
(-1)a = -a.

Resposta

(-1)a = -a

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