Questão 04:
Seja
. Prove que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para todo
, vale a igualdade
Informações e propriedades que vamos usar (axiomas dos números reais):
- Para todo
existe um único inverso aditivo, denotado por , tal que . -
é o elemento neutro multiplicativo: para todo . -
é o inverso aditivo de , ou seja . - A multiplicação é distributiva em relação à adição:
para todos . - Existe o elemento neutro aditivo
e vale para todo (vamos provar essa propriedade quando for necessária).
Não vamos assumir nada além desses fatos básicos.
Passo 2
Estratégia de prova (curta e clássica): mostrar que
. Se conseguirmos isso, então
é um elemento que somado a
dá
, ou seja é um inverso aditivo de
. Pelo fato de o inverso aditivo ser único, segue que
. Agora fazemos as contas para mostrar
.
Passo 3
Começamos calculando
. Usando que
e a distributividade, temos:
Aqui usei explicitamente que
e que
(distributividade) aplicada com
,
e
.
Passo 4
Agora note que
porque
é o inverso aditivo de
. Substituindo:
Portanto
Passo 5
Mostro que
para todo
. Prova curta: usando distributividade,
Somando o inverso aditivo de
aos dois lados (ou seja, adicionando
), obtemos
. Assim concluímos que
Passo 6
Voltando ao que tinhamos, das igualdades anteriores obtemos
Logo
é um inverso aditivo de
. Pelo fato de o inverso aditivo ser único (se
e
satisfazem
e
então
), segue que
coincide com
. Portanto