Questão 04
(a) Seja a=a_{n} \ldots a_{1} a_{0} um número representado na base 10. Mostre que 2^{k} divide a se, e somente, se, a_{k-1} \ldots a_{1} a_{0} é divisível por 2^{k}.
(b) Aplique o critério, estabelecido no item (a), para verificar se o número 9468910576 é divisível pr 16 .

Passo 1

O enunciado tem duas partes. No item (a), queremos mostrar que, para um número em base 10
a = a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0,
é divisível por 2^k se, e somente se, o inteiro formado pelos seus k últimos dígitos
a_{k-1}a_{k-2}\dots a_1a_0
é divisível por 2^k. Isso envolve propriedade de potências de 10 modulo 2^k e decomposição em quociente e resto. No item (b), aplicamos esse critério com k=4 (pois 16=2^4) ao número 9468910576.

Passo 2

Repare que
10 = 2 \cdot 5
implica
10^k = 2^k \cdot 5^k.
Logo
2^k \mid 10^k.

Passo 3

Escrevemos
a = \sum_{i=0}^n a_i\,10^i.
Separamos os termos de índice \ge k e de índice <k. Definindo
q = \sum_{i=k}^n a_i\,10^{\,i-k}, \quad r = \sum_{i=0}^{k-1} a_i\,10^i,
temos
a = q\cdot 10^k + r.
Como 2^k\mid 10^k, segue:
  1. Se 2^k\mid r então 2^k\mid q\,10^k e, somando, 2^k\mid a.
  2. Se 2^k\mid a então 2^k\mid (a - q\,10^k)=r.
    Portanto, 2^k\mid a se, e somente se, 2^k\mid r, onde r é o número formado pelos últimos k dígitos de a.

Passo 4

No item (b), tomamos k=4 pois 16=2^4. O número dado é 9468910576. Seus 4 últimos dígitos formam
r = 0576 = 576.
Verificamos
\frac{576}{16} = 36 \in \mathbb{Z},
logo 16\mid 576. Pelo critério, 16\mid 9468910576.

Resposta

Sim. O número 9468910576 é divisível por 16, pois seus quatro últimos dígitos formam 576 e \tfrac{576}{16}=36.

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