Questão 04
(a) Seja
um número representado na base 10. Mostre que
divide
se, e somente, se,
é divisível por
.
(b) Aplique o critério, estabelecido no item (a), para verificar se o número 9468910576 é divisível pr 16 .
(a) Seja
(b) Aplique o critério, estabelecido no item (a), para verificar se o número 9468910576 é divisível pr 16 .
Passo 1
O enunciado tem duas partes. No item (a), queremos mostrar que, para um número em base 10
é divisível por
se, e somente se, o inteiro formado pelos seus
últimos dígitos
é divisível por
. Isso envolve propriedade de potências de 10 modulo
e decomposição em quociente e resto. No item (b), aplicamos esse critério com
(pois
) ao número
.
Passo 2
Repare que
implica
Logo
Passo 3
Escrevemos
Separamos os termos de índice
e de índice
. Definindo
temos
Como
, segue:
- Se
então e, somando, . - Se
então .
Portanto,se, e somente se, , onde é o número formado pelos últimos dígitos de .
Passo 4
No item (b), tomamos
pois
. O número dado é
. Seus 4 últimos dígitos formam
Verificamos
logo
. Pelo critério,
.
Resposta
Sim. O número
é divisível por
, pois seus quatro últimos dígitos formam
e
.