Questão 05
Mostre que, para todo inteiro n \geqslant 0, tem-se que
241 \mid 11^{4 n+2}+19^{4 n+2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge0,
241 \mid 11^{4n+2}+19^{4n+2}.
Os conteúdos que vamos usar são aritmética modular e a fatoração da soma de potências ímpares.

Passo 2

Calculemos primeiro
11^2 + 19^2 = 121 + 361 = 482 = 2 \times 241.
Logo
11^2 + 19^2\equiv 0 \pmod{241}.

Passo 3

Reescrevamos a expressão geral como potências ímpares de 11^2 e 19^2:
11^{4n+2} + 19^{4n+2} = \bigl(11^2\bigr)^{2n+1} + \bigl(19^2\bigr)^{2n+1}.
Chamando a=11^2 e b=19^2, temos
a^{2n+1}+b^{2n+1}.

Passo 4

Usamos a identidade de soma de potências ímpares: para todo n\ge0,
a^{2n+1}+b^{2n+1} = (a+b)\bigl(a^{2n}-a^{2n-1}b+\cdots+b^{2n}\bigr).
Portanto a+b é fator dessa soma. Mas já vimos que
a+b = 11^2+19^2 \equiv 0 \pmod{241},
logo 241 divide a+b e, consequentemente, também divide a^{2n+1}+b^{2n+1}.

Resposta

Portanto, para todo inteiro n\ge0,
241 \mid 11^{4n+2}+19^{4n+2}.

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