Questão 05
Mostre que, para todo inteiro
, tem-se que
Mostre que, para todo inteiro
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
,
Os conteúdos que vamos usar são aritmética modular e a fatoração da soma de potências ímpares.
Passo 2
Calculemos primeiro
Logo
Passo 3
Reescrevamos a expressão geral como potências ímpares de
e
:
Chamando
e
, temos
Passo 4
Usamos a identidade de soma de potências ímpares: para todo
,
Portanto
é fator dessa soma. Mas já vimos que
logo
divide
e, consequentemente, também divide
.
Resposta
Portanto, para todo inteiro
,