Encontre a soma da série:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(t g^{-1}(n+1)-t g^{-1}(n)\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(t\,g^{-1}(n+1)-t\,g^{-1}(n)\bigr).
O conteúdo aqui é o de séries telescópicas: vamos ver que quase todos os termos se cancelam quando formos à soma parcial e, em seguida, tomar limite.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N como
S_N = \sum_{n=1}^{N}\bigl(t\,g^{-1}(n+1)-t\,g^{-1}(n)\bigr).
Repare que t é apenas um fator constante, então podemos escrever
S_N = t\sum_{n=1}^{N}\bigl(g^{-1}(n+1)-g^{-1}(n)\bigr).

Passo 3

Ao desenvolver essa soma parcial, temos
\sum_{n=1}^{N}\bigl(g^{-1}(n+1)-g^{-1}(n)\bigr) = \bigl(g^{-1}(2)-g^{-1}(1)\bigr) + \bigl(g^{-1}(3)-g^{-1}(2)\bigr) + \cdots + \bigl(g^{-1}(N+1)-g^{-1}(N)\bigr).
Quase tudo cancela em cascata, sobrando apenas
\sum_{n=1}^{N}\bigl(g^{-1}(n+1)-g^{-1}(n)\bigr) = g^{-1}(N+1)-g^{-1}(1).
Logo
S_N = t\bigl(g^{-1}(N+1)-g^{-1}(1)\bigr).

Passo 4

Para obter a soma da série original, tomamos o limite N\to\infty. Se existir o limite
L = \lim_{x\to\infty}g^{-1}(x),
então
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(t\,g^{-1}(n+1)-t\,g^{-1}(n)\bigr) = \lim_{N\to\infty}S_N = t\bigl(L - g^{-1}(1)\bigr).
Caso \lim_{x\to\infty}g^{-1}(x) seja finito igual a L, a série converge para esse valor. Se o limite for infinito, a série diverge.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(t\,g^{-1}(n+1)-t\,g^{-1}(n)\bigr) = t\bigl(\lim_{x\to\infty}g^{-1}(x)\;-\;g^{-1}(1)\bigr).

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