Questão 05. Considerando as consequências da definição de logaritmo, calcule:
2^{1+\log _{2} 5}

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão \,2^{1+\log_{2}5}.
Informações dadas:
  • A base da potência é \,2.
  • O expoente é a soma 1+\log_{2}5.
    A tarefa é simplificar essa expressão para obter um número.

Passo 2

Entendendo o que é \log: por definição, \log_{a} b é o número y tal que
a^{y}=b.
Isto é, se \,y=\log_{a} b então \,a^{y}=b. Aqui temos \,a=2 e b=5, portanto \log_{2}5 é o expoente que transforma 2 em 5.

Passo 3

Duas propriedades úteis de potências e logaritmos que usaremos:
  1. Regra da soma de expoentes:
a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},
onde a é a base e x,y são expoentes. Isso vem diretamente da definição de potência (multiplicar a por si mesmo).
2) Propriedade inversa entre potência e logaritmo:
a^{\log_{a} b}=b,
porque \log_{a} b é exatamente o expoente que faz a virar b.

Passo 4

Aplicando a regra da soma de expoentes à expressão dada:
2^{1+\log_{2}5}=2^{1}\cdot 2^{\log_{2}5}.
Aqui se separou a potência em dois fatores: um com expoente 1 e outro com expoente \log_{2}5.

Passo 5

Agora avalia cada fator:
2^{1}=2
e, pela propriedade inversa potência–logaritmo,
2^{\log_{2}5}=5.
Multiplicando os dois resultados:
2\cdot 5 = 10.

Passo 6

Verificação alternativa (curtinha): usando propriedades de logaritmo,
\log_{2}10=\log_{2}(2\cdot 5)=\log_{2}2+\log_{2}5=1+\log_{2}5.
Logo o expoente 1+\log_{2}5 é \log_{2}10, e
2^{1+\log_{2}5}=2^{\log_{2}10}=10,
o mesmo resultado — consistentemente.

Resposta

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