QUESTÃO 05

Um cubo de vidro possui uma pequena mancha em seu centro. Que partes de cada face do cubo devem ser cobertas de modo a impedir que a mancha seja vista independentemente da direção de observação? Que fração da superfície do cubo deve ser coberta? Considere um cubo de 1,0 cm de aresta e índice de refração n=1,50 (desprezar o que acontece com o raio que sofre reflexão interna total).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A pergunta fala sobre um cubo de vidro com uma mancha no centro e quer saber quais partes de cada face do cubo precisam ser cobertas para que ninguém consiga ver essa mancha de qualquer direção. Também precisamos descobrir qual fração da superfície total do cubo deve ser coberta. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de óptica, especificamente relacionados à refração da luz e como ela pode tornar a mancha visível. Vamos precisar considerar o índice de refração do vidro, que aqui é n = 1,50 , e trabalhar com geometria do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a luz viaja através do vidro. Quando a luz passa de um meio para outro com índice de refração diferente, ela se desvia. No caso do cubo de vidro, a luz que vem de fora pode refratar ao entrar no vidro, atingir a mancha e refratar de volta ao sair. Para que a mancha não seja vista, precisamos bloquear as direções de entrada da luz que poderiam passar pela mancha e voltar ao olho do observador.

Passo 3

Vamos considerar uma face do cubo. Se cobrirmos uma certa área central dessa face, estaremos bloqueando as raios de luz que passariam por essa área e alcançariam a mancha. Mas precisamos determinar exatamente quanta área deve ser coberta para garantir que, independente da direção de visão, a luz que poderia revelar a mancha esteja bloqueada.

Passo 4

Para calcular a área que precisa ser coberta, vamos usar geometria e o índice de refração. Sabemos que o cubo tem arestas de 1,0 cm. A mancha está no centro, então precisamos encontrar o ângulo máximo que a luz pode ter vindo da mancha até atingir uma face sem ser bloqueada. Usaremos a fórmula de Snell para relacionar os ângulos de incidência e refração:
n1 sin(theta1) = n2 sin(theta2)
Onde n1 é o índice de refração do ar ( approx 1,00 ) e n2 = 1,50 é o do vidro.

Passo 5

Vamos determinar o ângulo crítico além do qual a luz seria totalmente refletida internamente, mas como a questão diz para desprezar a reflexão interna total, focaremos apenas em onde a light pode sair e revelar a mancha. Calculamos o raio da área a ser coberta na face do cubo.

Passo 6

Considerando que a mancha está no centro e queremos bloquear a visão da mancha de qualquer direção, a área coberta em cada face deve ser circular, centrada na face, com raio tal que qualquer linha de visão que passe por essa área seria bloqueada. Usando trigonometria simples no cubo, encontramos que a metade da aresta do cubo é 0,5 cm, então o raio da área coberta será 0,5 cm.

Passo 7

Calculamos agora a área que precisa ser coberta em uma face do cubo:
Acoberta = pi r^2 = pi (0,5 , cm)^2 = pi times 0,25 , cm^2 approx 0,785 , cm^2
Como o cubo tem 6 faces, a área total a ser coberta é:
Atotal coberta = 6 times 0,785 , cm^2 approx 4,71 , cm^2

Passo 8

Agora, vamos calcular a área total da superfície do cubo:
Atotal = 6 times aresta^2 = 6 times (1,0 , cm)^2 = 6 , cm^2

Passo 9

Para encontrar a fração da superfície que precisa ser coberta, dividimos a área total coberta pela área total do cubo:
Fração coberta = 4,71 , cm^26 , cm^2 approx 0,785 , ou , 78,5% çã

Resposta

Para impedir que a mancha seja vista de qualquer direção, deve-se cobrir um círculo de raio 0,5 , cm em cada face do cubo. A fração da superfície do cubo que deve ser coberta é aproximadamente 78,5% .

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