Questão 05: Encontre a derivada da função:
g(x)=\int_{2 x}^{3 x} \frac{u^{2}-1}{u^{2}+1} d u \quad\left(\right. Dica: \left.\int_{2 x}^{3 x} f(u) d u=\int_{2 x}^{0} f(u) d u+\int_{0}^{3 x} f(u) d u\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
g(x)=\int_{2x}^{3x}\frac{u^{2}-1}{u^{2}+1}\,du.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função integranda é \displaystyle f(u)=\frac{u^{2}-1}{u^{2}+1}.
  • Os limites de integração são variáveis: o limite inferior é a(x)=2x e o limite superior é b(x)=3x.
  • Precisamos calcular g'(x).
  • Foi dada a dica \displaystyle \int_{2x}^{3x} f(u)\,du=\int_{2x}^{0} f(u)\,du+\int_{0}^{3x} f(u)\,du (útil para entender divisão de intervalos, mas não estritamente necessária aqui).

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (explicado devagar):
  • Teorema fundamental do cálculo (parte 2): se F(t)=\displaystyle\int_{c}^{t} f(u)\,du e f é contínua, então F'(t)=f(t). Em palavras: derivar uma integral cujo limite superior é a variável devolve a integranda avaliada nesse limite.
    Exemplo simples: \displaystyle \frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\sin(u)\,du=\sin(x).

Passo 3

Regra para limites de integração que dependem de x (derivação sob o sinal de integral):
  • Se \displaystyle G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(u)\,du e f é contínua, então
G'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Explicação do porquê (passo a passo curto e intuitivo):
  1. Defina H(t)=\displaystyle\int_{c}^{t} f(u)\,du (fixando um c qualquer). Pelo Teorema fundamental, H'(t)=f(t).
  2. Então \displaystyle G(x)=H\big(b(x)\big)-H\big(a(x)\big).
  3. Use a regra da cadeia: \displaystyle G'(x)=H'\big(b(x)\big)b'(x)-H'\big(a(x)\big)a'(x)=f\big(b(x)\big)b'(x)-f\big(a(x)\big)a'(x).
    Isto é exatamente a regra que usamos.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso problema:
  • Aqui a(x)=2x, então a'(x)=2.
  • Aqui b(x)=3x, então b'(x)=3.
  • A integranda é f(u)=\dfrac{u^{2}-1}{u^{2}+1}.
    Logo, pela fórmula:
g'(x)=f(3x)\cdot 3 - f(2x)\cdot 2.

Passo 5

Calcule f(3x) e f(2x) substituindo u=3x e u=2x:
f(3x)=\frac{(3x)^{2}-1}{(3x)^{2}+1}=\frac{9x^{2}-1}{9x^{2}+1}, \qquad f(2x)=\frac{(2x)^{2}-1}{(2x)^{2}+1}=\frac{4x^{2}-1}{4x^{2}+1}.
Substituindo em g'(x) temos:
g'(x)=3\cdot\frac{9x^{2}-1}{9x^{2}+1}-2\cdot\frac{4x^{2}-1}{4x^{2}+1}.

Passo 6

Agora vamos simplificar essa expressão até uma forma única racional. Escrevemos:
g'(x)=\frac{27x^{2}-3}{9x^{2}+1}-\frac{8x^{2}-2}{4x^{2}+1}.
Para somar/subtrair frações fazemos o denominador comum (9x^{2}+1)(4x^{2}+1) e calculamos o numerador:

Passo 7

Expansão dos numeradores (mostrando cada conta):
(27x^{2}-3)(4x^{2}+1)=108x^{4}+15x^{2}-3,
(8x^{2}-2)(9x^{2}+1)=72x^{4}-10x^{2}-2.
Subtraindo conforme a diferença das frações:
\text{numerador}= (108x^{4}+15x^{2}-3) - (72x^{4}-10x^{2}-2).
Agora combinamos termos semelhantes:
\text{numerador}=108x^{4}-72x^{4}+15x^{2}+10x^{2}-3+2=36x^{4}+25x^{2}-1.

Passo 8

Portanto, com o denominador comum (9x^{2}+1)(4x^{2}+1), obtemos a forma simplificada:
g'(x)=\frac{36x^{4}+25x^{2}-1}{(9x^{2}+1)(4x^{2}+1)}.
Verificação rápida em x=0 (sanity check): pela fórmula direta g'(0)=3(-1)-2(-1)=-1. Pela expressão simplificada, substituindo x=0 temos (-1)/(1)=-1. Bate.

Resposta

\displaystyle g'(x)=\frac{36x^{4}+25x^{2}-1}{(9x^{2}+1)(4x^{2}+1)}

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