Questão 05: Encontre a derivada da função:
Dica:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas e o que se pede:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são variáveis: o limite inferior é
e o limite superior é . - Precisamos calcular
. - Foi dada a dica
(útil para entender divisão de intervalos, mas não estritamente necessária aqui).
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (explicado devagar):
- Teorema fundamental do cálculo (parte 2): se
e é contínua, então . Em palavras: derivar uma integral cujo limite superior é a variável devolve a integranda avaliada nesse limite.
Exemplo simples:.
Passo 3
Regra para limites de integração que dependem de
(derivação sob o sinal de integral):
- Se
e é contínua, então
Explicação do porquê (passo a passo curto e intuitivo):
- Defina
(fixando um qualquer). Pelo Teorema fundamental, . - Então
. - Use a regra da cadeia:
.
Isto é exatamente a regra que usamos.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso problema:
- Aqui
, então . - Aqui
, então . - A integranda é
.
Logo, pela fórmula:
Passo 5
Calcule
e
substituindo
e
:
Substituindo em
temos:
Passo 6
Agora vamos simplificar essa expressão até uma forma única racional. Escrevemos:
Para somar/subtrair frações fazemos o denominador comum
e calculamos o numerador:
Passo 7
Expansão dos numeradores (mostrando cada conta):
Subtraindo conforme a diferença das frações:
Agora combinamos termos semelhantes:
Passo 8
Portanto, com o denominador comum
, obtemos a forma simplificada:
Verificação rápida em
(sanity check): pela fórmula direta
. Pela expressão simplificada, substituindo
temos
. Bate.