Use a Parte 2 do TFC para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a Parte 2 do TFC, a integral
Informações dadas: a integranda é
e o intervalo de integração é
. A instrução explícita é usar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Vou enunciar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) de forma útil para resolver isso:
Aqui,
em todo o intervalo. Em palavras: se a função é contínua, podemos calcular a integral definida avaliando qualquer primitiva em
e em
e fazendo a diferença.
Passo 3
Verificação de hipótese do TFC: a integranda é
. Essa função é contínua para todo
tal que
. Como o intervalo dado é
e em
temos sempre
, a integranda é contínua em
. Portanto, podemos aplicar a Parte 2 do TFC normalmente e a integral existe.
Passo 4
Agora precisamos encontrar uma antiderivada
de
. Vou usar a regra da potência para integrais:
Aqui
. Aplicando a regra:
Multiplicando por
(pois a função é
):
Portanto uma antiderivada é
. (Isto significa
.)
Passo 5
Aplicando a Parte 2 do TFC:
com
. Então
Passo 6
Calculemos os termos numericamente. Temos
e
. Substituindo:
Fazendo a subtração:
Passo 7
Conclusão e verificação rápida: a integral existe (porque a função é contínua em
) e o valor obtido usando a Parte 2 do TFC é
. Você pode checar diferenciando
e confirmando que volta para
.