Use a Parte 2 do TFC para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
\int_{1}^{2}\left(\frac{3}{t^{4}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a Parte 2 do TFC, a integral
\int_{1}^{2}\left(\frac{3}{t^{4}}\right)\,dt.
Informações dadas: a integranda é \dfrac{3}{t^{4}} e o intervalo de integração é [1,2]. A instrução explícita é usar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Vou enunciar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) de forma útil para resolver isso:
\text{Se } f \text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }F \text{ é uma antiderivada de }f\text{ em }[a,b], \text{ então } \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).éíéã
Aqui, F'(x)=f(x) em todo o intervalo. Em palavras: se a função é contínua, podemos calcular a integral definida avaliando qualquer primitiva em b e em a e fazendo a diferença.

Passo 3

Verificação de hipótese do TFC: a integranda é \dfrac{3}{t^{4}} = 3t^{-4}. Essa função é contínua para todo t tal que t\neq 0. Como o intervalo dado é [1,2] e em [1,2] temos sempre t\neq 0, a integranda é contínua em [1,2]. Portanto, podemos aplicar a Parte 2 do TFC normalmente e a integral existe.

Passo 4

Agora precisamos encontrar uma antiderivada F(t) de f(t)=3t^{-4}. Vou usar a regra da potência para integrais:
\text{Se } n\neq -1,\quad \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-4. Aplicando a regra:
\int t^{-4}\,dt = \frac{t^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3}t^{-3}+C.
Multiplicando por 3 (pois a função é 3t^{-4}):
\int 3t^{-4}\,dt = 3\left(-\frac{1}{3}t^{-3}\right)+C = -t^{-3}+C.
Portanto uma antiderivada é F(t) = -t^{-3}. (Isto significa F'(t)=3t^{-4}.)

Passo 5

Aplicando a Parte 2 do TFC:
\int_{1}^{2} 3t^{-4}\,dt = F(2)-F(1)
com F(t)=-t^{-3}. Então
F(2)-F(1) = -2^{-3} - \big(-1^{-3}\big).

Passo 6

Calculemos os termos numericamente. Temos 2^{-3}=\dfrac{1}{8} e 1^{-3}=1. Substituindo:
-2^{-3} - \big(-1^{-3}\big) = -\frac{1}{8} - (-1) = -\frac{1}{8} + 1 = 1 - \frac{1}{8}.
Fazendo a subtração:
1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida: a integral existe (porque a função é contínua em [1,2]) e o valor obtido usando a Parte 2 do TFC é \dfrac{7}{8}. Você pode checar diferenciando F(t)=-t^{-3} e confirmando que volta para 3t^{-4}.

Resposta

\dfrac{7}{8}

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