Use a Parte 2 do TFC para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} t \, dt
ou explicar por que ela não existe. As informações dadas são: o integrando é \operatorname{sen} t e os limites de integração são a=\frac{\pi}{4} e b=\frac{\pi}{3}. A tarefa é aplicar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para obter o valor da integral.

Passo 2

Verificamos se podemos aplicar a Parte 2 do TFC. A parte 2 do TFC diz o seguinte:
\text{Se } f \text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }F\text{ é uma primitiva de }f\text{ em }[a,b],\text{ então } \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).éíéã
Aqui: f é a função que está dentro da integral, a e b são os limites de integração, e F é uma função cuja derivada é f (ou seja, F'(x)=f(x)). Precisamos checar que f(t)=\operatorname{sen}t é contínua em \left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right]. A função seno é contínua em todo \mathbb{R}, logo é contínua no intervalo dado; portanto as hipóteses do TFC são satisfeitas e podemos usá-lo.

Passo 3

Agora precisamos encontrar uma primitiva F(t) de f(t)=\operatorname{sen}t. Lembrando derivadas básicas: a derivada de \cos t é -\operatorname{sen}t. Assim, se tomarmos F(t) = -\cos t, então
F'(t) = -\frac{d}{dt}\cos t = -(-\operatorname{sen}t)=\operatorname{sen}t,
ou seja, F'(t)=\operatorname{sen}t. Portanto F(t)=-\cos t é uma primitiva válida.

Passo 4

Aplicamos a Parte 2 do TFC usando F(t)=-\cos t. Temos
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen}t\,dt = F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) - \big(-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\big).

Passo 5

Calculamos os cossenos conhecidos: \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} (triângulo equilátero dividido ou círculo trigonométrico) e \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} (triângulo isósceles de catetos iguais). Substituindo,
-\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) - \big(-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\big) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Simplificamos fatorando \frac{1}{2}:
-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}.
Portanto a integral existe (porque o integrando é contínuo) e o seu valor é \frac{\sqrt{2}-1}{2}. Força aí — tá feito, é curto e direto!

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}

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