Use a Parte 2 do TFC para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
ou explicar por que ela não existe. As informações dadas são: o integrando é
e os limites de integração são
e
. A tarefa é aplicar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para obter o valor da integral.
Passo 2
Verificamos se podemos aplicar a Parte 2 do TFC. A parte 2 do TFC diz o seguinte:
Aqui:
é a função que está dentro da integral,
e
são os limites de integração, e
é uma função cuja derivada é
(ou seja,
). Precisamos checar que
é contínua em
. A função seno é contínua em todo
, logo é contínua no intervalo dado; portanto as hipóteses do TFC são satisfeitas e podemos usá-lo.
Passo 3
Agora precisamos encontrar uma primitiva
de
. Lembrando derivadas básicas: a derivada de
é
. Assim, se tomarmos
, então
ou seja,
. Portanto
é uma primitiva válida.
Passo 4
Aplicamos a Parte 2 do TFC usando
. Temos
Passo 5
Calculamos os cossenos conhecidos:
(triângulo equilátero dividido ou círculo trigonométrico) e
(triângulo isósceles de catetos iguais). Substituindo,
Passo 6
Simplificamos fatorando
:
Portanto a integral existe (porque o integrando é contínuo) e o seu valor é
. Força aí — tá feito, é curto e direto!