Aplicar o critério de comparação para determinar a convergência ou não das seguintes séries numéricas de termos positivos:
sumn=1^infty ln (n+1)n.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o critério de comparação direta à série de termos positivos
sumn=1^inftyln(n+1)n
Vamos comparar com a série harmônica
sumn=1^infty1n,
que é bem conhecida por divergir.

Passo 2

Para n>=2 vale
ln(n+1)>=ln3>1,
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ln(n+1)n>=1n

Passo 3

Como a série harmônica
sumn=1^infty1n
diverge e, a partir de n=2, temos
tfracln(n+1)n>=tfrac1n,
pelo critério de comparação direta concluímos que
sumn=1^inftyln(n+1)n
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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