Questão 05: Escalone, discuta e resolva o seguinte sistema linear: OBS: Para SPI, colocar a solução em função de alpha.
cx-2 y+5 z=1 2 x-z=3 x+3 y=0 3 y+z=1

Passo 1

O enunciado pede para escalonar, discutir (identificar se é SIS, SPI ou SPT) e resolver o sistema de quatro equações e três incógnitas (x,y,z):
x - 2y + 5z = 1, 2x ;-; z = 3, x + 3y = 0, 3y + z = 1
O método será a eliminação de Gauss: montamos a matriz aumentada, colocamos em forma triangular e, a partir daí, verificamos consistência.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e usamos a primeira linha para zerar x nas equações 2 e 3:
[ccc|c 1 & -2 & 5 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 3 & 0 & 0 0 & 3 & 1 & 1 ]
Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2 obtemos
4y - 11z = 1,
e subtraindo 1 vez a linha 1 da linha 3 obtemos
5y - 5z = -1
A linha 4 já não contém x. Assim o sistema vira
x - 2y + 5z = 1, 4y - 11z = 1, 5y - 5z = -1, 3y + z = 1

Passo 3

Usamos agora a segunda linha ( 4y - 11z = 1) para zerar y nas linhas 3 e 4:
  • Na linha 3, fazemos L3>=ts L3-tfrac54,L2, resultando em 354z = -94 Longrightarrow z = -935
  • Na linha 4, fazemos L4>=ts L4-tfrac34,L2, resultando em 374z = 14 Longrightarrow z = 137

Passo 4

As duas equações em z dão valores diferentes ( -9/35 e 1/37), o que é impossível. Logo o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é incompatível (SIC) e não possui solução.

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