Questão 05: Escalone, discuta e resolva o seguinte sistema linear: OBS: Para SPI, colocar a solução em função de alpha.
cx+y-2 z=4 +2 x-y+3 z=-1 4 x+y-z=7

Passo 1

O enunciado pede para escalonar, discutir e resolver o sistema linear
O conteúdo é o método de escalonamento (Gauss), a noção de posto de matriz para classificar o sistema (SPD, SPI ou impossível) e, no caso de infinitas soluções (SPI), expressar a solução em função de um parâmetro .

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha para chegar à forma escalonada:
[ccc|c 1 & 1 & -2 & 4 2 & -1 & 3 & -1 4 & 1 & -1 & 7 ] xrightarrowL2 L2-2L1,,;L3 L3-4L1 [ccc|c 1 & 1 & -2 & 4 0 & -3 & 7 & -9 0 & -3 & 7 & -9 ] xrightarrowL3 L3 - L2 [ccc|c 1 & 1 & -2 & 4 0 & -3 & 7 & -9 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da forma escalonada vemos que o posto da matriz de coeficientes é
rank(A)=2
e o posto da matriz aumentada é
rank(A|b)=2.
Como rank(A)=rank(A|b)<3 (número de incógnitas), o sistema é SPI e tem infinitas soluções.

Passo 4

Escolhemos a variável livre
Substituindo

Resposta

A solução geral do sistema é
boxed,x = 1 - tfrac13,alpha, y = 3 + tfrac73,alpha, z = alpha,, alphainR,

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