Questão 05 - O ferro é aquecido de 100^{\circ} \mathrm{C} a 10000^{\circ} \mathrm{C}. De quanto varia o seu potencial químico? Considere \mathrm{S}_{m}{ }^{\boldsymbol{\circ}}(\mathrm{Fe})=53 \mathrm{~J} / \mathrm{K} . \mathrm{mol} em todo o intervalo de temperatura estudado (na verdade, é o seu valor médio).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a variação do potencial químico do ferro quando ele é aquecido de 100^\circ\mathrm{C} até 10000^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas:
  • Temperaturas inicial e final: 100^\circ\mathrm{C} e 10000^\circ\mathrm{C}.
  • Entropia molar padrão (valor médio) do ferro: S_m^\circ(\mathrm{Fe}) = 53\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} (assumida constante no intervalo).
  • Pressão é implicitamente considerada constante (condição usual para usar d\mu = -S_m\,dT).
Nada mais será assumido além dessas informações. Agora vamos transformar as temperaturas para Kelvin e aplicar a relação entre potencial químico e entropia passo a passo.

Passo 2

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin (porque nas integrais térmicas usamos a escala absoluta).
Regra: para transformar T em Celsius para Kelvin, somamos 273{,}15. Portanto:
T_1 = 100^\circ\mathrm{C} = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\\ \mathrm{K}
T_2 = 10000^\circ\mathrm{C} = 10000 + 273{,}15 = 10273{,}15\\ \mathrm{K}
Calcule a variação de temperatura:
\Delta T = T_2 - T_1 = 10273{,}15 - 373{,}15 = 9900\\ \mathrm{K}
Explicação curta: usamos Kelvin porque as leis termodinâmicas que envolvem energia/entropia requerem temperatura absoluta; Celsius desloca a origem e daria resultados errados nas integrais.

Passo 3

Escrever a relação diferencial entre potencial químico e entropia molar (em condição de pressão constante e composição fixa).
Para uma substância pura, o potencial químico molar \mu(T) coincide com a energia livre de Gibbs molar G_m(T). A diferencial de G_m é dada por
dG_m = -S_m\,dT + V_m\,dP.
Se a pressão é constante (caso usual aqui), temos dP=0 e portanto
d\mu = dG_m = -S_m\,dT.
Interpretação das letras:
  • d\mu é a variação infinitesimal do potencial químico molar.
  • S_m é a entropia molar (dada).
  • dT é a variação infinitesimal da temperatura.
    Essa relação diz, de forma direta e simples: aumentando a temperatura, o potencial químico diminui na razão da entropia molar.

Passo 4

Integrar a relação para obter a variação finita do potencial químico entre T_1 e T_2.
Partimos de
d\mu = -S_m\,dT.
Assumindo S_m constante no intervalo (como dito no enunciado), integramos de T_1 a T_2:
\Delta\mu \equiv \mu(T_2)-\mu(T_1) = -\int_{T_1}^{T_2} S_m\,dT = -S_m\,(T_2-T_1).
Comentário didático: se S_m não fosse constante, precisaríamos conhecer S_m(T) e integrar a função; aqui o enunciado já deu uma média, o que simplifica muito — ótimo para prova.

Passo 5

Substituir os valores numéricos na fórmula obtida.
Temos S_m^\circ(\mathrm{Fe}) = 53\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} e \Delta T = 9900\\ \mathrm{K}. Logo
\Delta\mu = -S_m^\circ\,(T_2-T_1) = -53\cdot 9900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Fazendo a multiplicação (mostrar passo a passo para você conseguir fazer na prova sem calculadora simples):
53\cdot 9900 = 53\cdot(10000-100) = 53\cdot10000 - 53\cdot100 = 530000 - 5300 = 524700.
Portanto
\Delta\mu = -524700\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 6

Passar para unidades mais usuais (kJ·mol^{-1}) e interpretar o sinal.
Convertendo para quilojoule por mol:
\Delta\mu = -524700\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = -524{,}7\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o potencial químico do ferro diminui ao aquecer (coerente: aumentar T aumenta entropia e reduz G / \mu). Lembrete prático para a prova: sempre preste atenção ao sinal — aqui vem direto do sinal negativo em d\mu = -S_m\,dT.
Observação sobre aproximação: usamos S_m constante. Para grandes intervalos térmicos reais (como até 10.000^\circ\mathrm{C}) isso é uma aproximação grosseira, mas o enunciado pediu explicitamente para usar esse valor médio — então a resposta está correta dentro dessa hipótese.

Resposta

\Delta\mu = -524700\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = -524{,}7\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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