Questão 05 Joana recebeu uma proposta de emprego onde seu salário inicial será de \mathrm{R} \ 1.800,00 , com aumento mensal de R\ 150,00. Ela deseja comprar um notebook que custa R$ 2.100,00, pagando à vista, e pretende economizar exatamente 20% do seu salário a cada mês para esta compra.
Em quantos meses Joana conseguirá juntar o valor necessário para comprar o notebook?
A) 5 meses.
B) 4 meses.
C) 6 meses.
D) 7 meses.
E) 8 meses.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Salário inicial: R\$ 1.800,00.
  • Aumento mensal do salário: R\$ 150,00 por mês.
  • Preço do notebook (à vista): R\$ 2.100,00.
  • Joana guarda exatamente 20\% do seu salário todo mês.
  • Pergunta: Em quantos meses Joana conseguirá juntar os R\$ 2.100,00 necessários para comprar o notebook?

Passo 2

Vamos traduzir as informações para matemática, começando pelo salário do mês n. O salário aumenta sempre a mesma quantia ( R\$ 150,00) a cada mês, portanto os salários formam uma progressão aritmética. Definimos:
s_n = \text{salário no mês }n.áê
O primeiro termo é s_1 = R\$1.800,00 e a razão é d = R\$ 150,00. Assim, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é
s_n = s_1 + (n-1)d.
Substituindo os valores:
s_n = 1800 + (n-1)\,150.
(Observação: escrevi os valores em reais como números para facilitar as contas; toda a álgebra abaixo usa esses números.)

Passo 3

Joana economiza 20\% do salário todo mês. Em forma decimal, 20\% = 0{,}2. Então a quantidade poupada no mês n é
p_n = 0{,}2\; s_n.
Substituindo s_n da fórmula anterior:
p_n = 0{,}2\big(1800 + (n-1)\,150\big).
Agora fazemos a multiplicação termo a termo: 0{,}2\cdot 1800 = 360 e 0{,}2\cdot 150 = 30. Portanto
p_n = 360 + (n-1)\,30.
Isso mostra que as poupanças mensais também formam uma progressão aritmética com p_1 = 360 e razão 30.

Passo 4

Para descobrir em quantos meses ela atinge o objetivo de R\$ 2.100,00, precisamos somar as poupanças dos primeiros m meses e achar o menor m tal que essa soma seja pelo menos 2100. Definimos
S_m = \sum_{k=1}^{m} p_k,
que é a soma dos m primeiros termos da progressão aritmética p_n. A fórmula da soma dos m primeiros termos de uma PA é
S_m = \frac{m}{2}\,(p_1 + p_m).
Essa fórmula vem da ideia de emparelhar o primeiro com o último termo, o segundo com o penúltimo, etc., cada par somando o mesmo valor, e há m/2 pares quando m é par (e a fórmula vale também quando m é ímpar).

Passo 5

Já sabemos p_1 = 360 e a expressão de p_m é
p_m = 360 + (m-1)\,30.
Substituímos na fórmula da soma:
S_m = \frac{m}{2}\big(360 + [360 + (m-1)30]\big).
Primeiro simplificamos o que está dentro do colchete:
360 + [360 + (m-1)30] = 720 + 30(m-1).
Portanto
S_m = \frac{m}{2}\big(720 + 30(m-1)\big).
Agora desenvolvemos passo a passo:
720 + 30(m-1) = 720 + 30m - 30 = 690 + 30m,
logo
S_m = \frac{m}{2}\big(690 + 30m\big).
Multiplicando:
S_m = \frac{m(30m + 690)}{2} = 15m^2 + 345m.
(Explicação rápida: \frac{30}{2}=15 e \frac{690}{2}=345.)

Passo 6

Queremos o menor inteiro positivo m tal que S_m \ge 2100. Então resolvemos a desigualdade:
15m^2 + 345m \ge 2100.
Dividindo ambos os lados por 15 (para simplificar):
m^2 + 23m - 140 \ge 0.
Agora encontramos as raízes da quadrática m^2 + 23m - 140 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). O discriminante é
\Delta = 23^2 - 4\cdot 1 \cdot (-140) = 529 + 560 = 1089.
A raiz quadrada de 1089 é 33. Assim as raízes são
m = \frac{-23 \pm 33}{2}.
Calculando cada uma:
m_1 = \frac{-23 - 33}{2} = \frac{-56}{2} = -28,
m_2 = \frac{-23 + 33}{2} = \frac{10}{2} = 5.
Como o coeficiente de m^2 é positivo (parábola voltada para cima), a inequação m^2+23m-140 \ge 0 é satisfeita para m \le -28 ou m \ge 5. Como m representa número de meses, consideramos apenas inteiros positivos; portanto a menor solução relevante é
m = 5.

Passo 7

Verificação rápida (confiança extra): calculamos as poupanças mês a mês e a soma até m=5.
  • p_1 = 360.
  • p_2 = 360 + 30 = 390.
  • p_3 = 360 + 2\cdot 30 = 420.
  • p_4 = 450.
  • p_5 = 480.
Somando: 360 + 390 + 420 + 450 + 480 = 2100. Exatamente o valor necessário, então com 5 meses ela atinge o objetivo.

Resposta

A) 5 meses.

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