Questão 05 Joana recebeu uma proposta de emprego onde seu salário inicial será de
1.800,00
150,00. Ela deseja comprar um notebook que custa R$ 2.100,00, pagando à vista, e pretende economizar exatamente 20% do seu salário a cada mês para esta compra.
Em quantos meses Joana conseguirá juntar o valor necessário para comprar o notebook?
A) 5 meses.
B) 4 meses.
C) 6 meses.
D) 7 meses.
E) 8 meses.
A) 5 meses.
B) 4 meses.
C) 6 meses.
D) 7 meses.
E) 8 meses.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
- Salário inicial:
. - Aumento mensal do salário:
por mês. - Preço do notebook (à vista):
. - Joana guarda exatamente
do seu salário todo mês. - Pergunta: Em quantos meses Joana conseguirá juntar os
necessários para comprar o notebook?
Passo 2
Vamos traduzir as informações para matemática, começando pelo salário do mês
. O salário aumenta sempre a mesma quantia (
) a cada mês, portanto os salários formam uma progressão aritmética. Definimos:
O primeiro termo é
e a razão é
. Assim, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é
Substituindo os valores:
(Observação: escrevi os valores em reais como números para facilitar as contas; toda a álgebra abaixo usa esses números.)
Passo 3
Joana economiza
do salário todo mês. Em forma decimal,
. Então a quantidade poupada no mês
é
Substituindo
da fórmula anterior:
Agora fazemos a multiplicação termo a termo:
e
. Portanto
Isso mostra que as poupanças mensais também formam uma progressão aritmética com
e razão
.
Passo 4
Para descobrir em quantos meses ela atinge o objetivo de
, precisamos somar as poupanças dos primeiros
meses e achar o menor
tal que essa soma seja pelo menos
. Definimos
que é a soma dos
primeiros termos da progressão aritmética
. A fórmula da soma dos
primeiros termos de uma PA é
Essa fórmula vem da ideia de emparelhar o primeiro com o último termo, o segundo com o penúltimo, etc., cada par somando o mesmo valor, e há
pares quando
é par (e a fórmula vale também quando
é ímpar).
Passo 5
Já sabemos
e a expressão de
é
Substituímos na fórmula da soma:
Primeiro simplificamos o que está dentro do colchete:
Portanto
Agora desenvolvemos passo a passo:
logo
Multiplicando:
(Explicação rápida:
e
.)
Passo 6
Queremos o menor inteiro positivo
tal que
. Então resolvemos a desigualdade:
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar):
Agora encontramos as raízes da quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). O discriminante é
A raiz quadrada de
é
. Assim as raízes são
Calculando cada uma:
Como o coeficiente de
é positivo (parábola voltada para cima), a inequação
é satisfeita para
ou
. Como
representa número de meses, consideramos apenas inteiros positivos; portanto a menor solução relevante é
Passo 7
Verificação rápida (confiança extra): calculamos as poupanças mês a mês e a soma até
.
-
. -
. -
. -
. -
.
Somando:
. Exatamente o valor necessário, então com
meses ela atinge o objetivo.
Resposta
A) 5 meses.