Questão 06 Francisco tem 35 anos e está começando a pensar em sua futura aposentadoria. Atualmente, ele tem os seguintes gastos mensais:
Moradia: R$ 1.200,00.
Alimentação: R$ 800,00.
Transporte: R$ 600,00.
Lazer: R$ 300,00.
Outros gastos: R$ 100,00.
Francisco deseja manter o mesmo padrão de vida na aposentadoria, gastando exatamente o que gasta atualmente por ano. Francisco pretende viver, durante a aposentadoria, somente com os rendimentos do dinheiro investido que é de 6% ao ano.
Quanto dinheiro Francisco deveria ter acumulado aos 75 anos para viver apenas dos rendimentos de seus investimentos?
A) \mathrm{R} \ 300.000,00 . B) \(R \\) 600.000,00.
C)R \ 800.000,00 . D) \(\mathrm{R} \\) 1.300 .000,00.
E) R \ 1.600 .000,00$.

Passo 1

O enunciado pede quanto dinheiro Francisco deve ter acumulado aos 75 anos para, vivendo apenas dos rendimentos de seus investimentos a 6\% ao ano, cobrir exatamente seus gastos atuais anuais. Informações dadas (gastos mensais):
Moradia: \text{R\$ }1.200,00.
Alimentação: \text{R\$ }800,00.
Transporte: \text{R\$ }600,00.
Lazer: \text{R\$ }300,00.
Outros gastos: \text{R\$ }100,00.

Passo 2

Calcular primeiro o total dos gastos mensais somando todas as rubricas. Vou somar os valores mensais (cada número escrito em TeX):
\text{R\$}1.200,00 + \text{R\$ }800,00 + \text{R\$}600,00 + \text{R\$ }300,00 + \text{R\$ }100,00.

Passo 3

Fazendo a soma dos meses:
1.200 + 800 = 2.000,
2.000 + 600 = 2.600,
2.600 + 300 = 2.900,
2.900 + 100 = 3.000.
Portanto o gasto mensal total é \text{R\$ }3.000,00.

Passo 4

Converter o gasto mensal para gasto anual. Como um ano tem 12 meses, multiplicamos o gasto mensal por 12:
\text{Gasto anual} = \text{R\$ }3.000,00 \times 12.

Passo 5

Calculemos a multiplicação:
3.000 \times 12 = 36.000.
Logo o gasto anual que Francisco quer manter é \text{R\$ }36.000,00.

Passo 6

Agora a parte conceitual: para viver apenas dos rendimentos de um capital (sem consumir o próprio capital), precisamos que os rendimentos anuais desse capital sejam iguais ao gasto anual. Se C é o capital acumulado e i é a taxa de juros anual (em forma decimal), os rendimentos anuais são C\cdot i. Queremos que:
C\cdot i = \text{Gasto anual}.
Isolando C, obtemos a fórmula
C = \frac{\text{Gasto anual}}{i}.
Essa fórmula é a mesma do valor presente de uma renda perpétua (perpetuidade): o capital que produz indefinidamente uma renda \text{Gasto anual} a uma taxa i é \text{Gasto anual}/i. A ideia intuitiva: se você tem C aplicado a i, os juros gerados por ano são C\cdot i; para que esses juros paguem a retirada anual, basta igualar.

Passo 7

Aplicar a fórmula com os números do problema. A taxa anual é 6\%, isto é i = 0,06. O gasto anual é \text{R\$ }36.000,00. Então
C = \frac{\text{R\$ }36.000,00}{0,06}.

Passo 8

Fazer a divisão passo a passo sem calculadora: note que 0,06=\dfrac{6}{100}=\dfrac{3}{50}. Dividir por 0,06 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{50}{3}. Assim
C = 36.000 \times \frac{50}{3}.
Primeiro 36.000 \div 3 = 12.000. Depois 12.000 \times 50 = 600.000. Portanto
C = \text{R\$ }600.000,00.

Passo 9

Interpretação final e comparação com as alternativas: o capital necessário para que os rendimentos de 6\% paguem \text{R\$}36.000,00 por ano é \text{R\$ }600.000,00. Isso corresponde à alternativa B.

Resposta

B) \text{R\$ }600.000,00

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