Questão 06 Francisco tem 35 anos e está começando a pensar em sua futura aposentadoria. Atualmente, ele tem os seguintes gastos mensais:
Moradia: R$ 1.200,00.
Alimentação: R$ 800,00.
Transporte: R$ 600,00.
Lazer: R$ 300,00.
Outros gastos: R$ 100,00.
Francisco deseja manter o mesmo padrão de vida na aposentadoria, gastando exatamente o que gasta atualmente por ano. Francisco pretende viver, durante a aposentadoria, somente com os rendimentos do dinheiro investido que é de 6% ao ano.
Quanto dinheiro Francisco deveria ter acumulado aos 75 anos para viver apenas dos rendimentos de seus investimentos?
A)
300.000,00
.
C)R
800.000,00
.
E) R
1.600 .000,00$.
Transporte: R$ 600,00.
Lazer: R$ 300,00.
A)
C)R
E) R
Passo 1
O enunciado pede quanto dinheiro Francisco deve ter acumulado aos 75 anos para, vivendo apenas dos rendimentos de seus investimentos a
ao ano, cobrir exatamente seus gastos atuais anuais. Informações dadas (gastos mensais):
Moradia: .
Alimentação: .
Transporte: .
Lazer: .
Outros gastos: .
Moradia:
Alimentação:
Transporte:
Lazer:
Outros gastos:
Passo 2
Calcular primeiro o total dos gastos mensais somando todas as rubricas. Vou somar os valores mensais (cada número escrito em TeX):
Passo 3
Fazendo a soma dos meses:
Portanto o gasto mensal total é
.
Passo 4
Converter o gasto mensal para gasto anual. Como um ano tem 12 meses, multiplicamos o gasto mensal por 12:
Passo 5
Calculemos a multiplicação:
Logo o gasto anual que Francisco quer manter é
.
Passo 6
Agora a parte conceitual: para viver apenas dos rendimentos de um capital (sem consumir o próprio capital), precisamos que os rendimentos anuais desse capital sejam iguais ao gasto anual. Se
é o capital acumulado e
é a taxa de juros anual (em forma decimal), os rendimentos anuais são
. Queremos que:
Isolando
, obtemos a fórmula
Essa fórmula é a mesma do valor presente de uma renda perpétua (perpetuidade): o capital que produz indefinidamente uma renda
a uma taxa
é
. A ideia intuitiva: se você tem
aplicado a
, os juros gerados por ano são
; para que esses juros paguem a retirada anual, basta igualar.
Passo 7
Aplicar a fórmula com os números do problema. A taxa anual é
, isto é
. O gasto anual é
. Então
Passo 8
Fazer a divisão passo a passo sem calculadora: note que
. Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Assim
Primeiro
. Depois
. Portanto
Passo 9
Interpretação final e comparação com as alternativas: o capital necessário para que os rendimentos de
paguem
por ano é
. Isso corresponde à alternativa B.
Resposta
B)