(Questão 05) O modelo de Thomson, conhecido como “pudim de ameixas”, supunha que o átomo era formado por uma carga positiva distribuída de forma homogênea num volume esférico de raio
e que nessa “massa” os elétrons estariam incrustados. Considere o modelo de Thomson para o hidrogênio e responda:
a. Qual é o campo elétrico a uma distância
quando
?
b. Qual é o campo elétrico dentro do átomo, a uma distância
do centro?
c. Suponha que o elétron seja deslocado para uma distância
do centro. Qual é a força que age sobre ele?
d. Qual é o movimento do elétron quando ele é solto?
e. Sendo
e
, calcule a frequência de oscilação do elétron.
a. Qual é o campo elétrico a uma distância
b. Qual é o campo elétrico dentro do átomo, a uma distância
c. Suponha que o elétron seja deslocado para uma distância
d. Qual é o movimento do elétron quando ele é solto?
e. Sendo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
-
O enunciado pede:
a. O campo elétrico a uma distânciaquando .
b. O campo elétrico para(dentro do átomo).
c. A força que age sobre o elétron quando ele está a uma distânciado centro.
d. Que tipo de movimento o elétron descreve quando for solto (comentar o comportamento físico).
e. Calcular numericamente a frequência de oscilação do elétron usandoe . -
Informações do modelo (que vou usar):
- A carga positiva total da “pudim” é
(uma unidade elementar), distribuída uniformemente em uma esfera de raio . - Há um elétron de carga
dentro dessa esfera. - Vou usar constantes físicas conhecidas:
e .
- A carga positiva total da “pudim” é
A partir daqui começo a calcular cada item.
Passo 2
Campo elétrico para
(fora da esfera). Explicação e fórmula usada.
- Ideia física: para uma distribuição esférica de carga com total
, vista de fora a distribuição se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro (princípio que vem da Lei de Gauss ou do teorema de Coulomb para simetria esférica). - Aplicando a Lei de Gauss: escolha uma superfície gaussiana esférica de raio
. O fluxo elétrico é . A carga envolvida é . Pela Lei de Gauss,
- Assim
onde
é o vetor radial unitário apontando para fora do centro.
Observação didática curta: esta é exatamente o campo de uma carga puntiforme
colocada no centro; por isso fora da esfera não se “vê” a distribuição interna, apenas a carga total.
Passo 3
Campo elétrico para
(dentro da esfera). Explicação detalhada e dedução.
- Como a carga positiva está distribuída uniformemente no volume da esfera, a densidade volumétrica de carga (constante) é
- A carga contida numa esfera de raio
(a carga envolvida pela superfície gaussiana de raio ) é a densidade vezes o volume interno:
- Aplicando a Lei de Gauss numa superfície esférica de raio
:
- Daí
Comentário didático: o campo cresce linearmente com
dentro da esfera porque, ao aumentar o raio da gaussiana, a carga envolvida cresce como
enquanto a área cresce como
, resultando em
.
Passo 4
Força sobre o elétron deslocado a uma distância
do centro.
- Carga do elétron é
. A força elétrica é . - Para
(fora), a força é
Nesta região a força é atrativa (aponta para o centro) e varia como
.
- Para
(dentro), substituindo o campo interno:
- Note que para
a força tem a forma
Isto é uma força restauradora proporcional a
, apontando para o centro.
Didática: comparar com a Lei de Hooke
. Aqui surge uma constante efetiva
que depende de
e das constantes elétricas.
Passo 5
Tipo de movimento do elétron quando solto (interpretar a força obtida).
- Para deslocamentos pequenos (e em todo o interior
) a força é linear em e dirigida para o ponto de equilíbrio . Isso caracteriza um movimento harmônico simples (MHS ou SHM). - Equação do movimento (uma dimensão radial para pequenos deslocamentos radiais):
com
definido acima.
- A solução é oscilatória com frequência angular
- A frequência (ciclos por segundo) é
Comentário motivador: portanto, no modelo de Thomson o elétron preso no “pudim” faz oscilações harmônicas ao redor do centro — o modelo explicava estabilidade qualitativamente, mas falhava em outros pontos (não solicitado aqui).
Passo 6
Cálculo numérico da frequência usando os dados fornecidos.
- Vou calcular primeiro
:
Usando
,
,
:
- Agora
:
- Finalmente a frequência
:
(Aproximações numéricas exibidas; arredondei para três algarismos significativos.)
Resposta
a.
\n
b. \n
c. \quad e \quad
\n
d. O elétron sofre movimento harmônico simples (oscilações em torno do centro) quando está dentro da esfera ( ), pois a força é restauradora e proporcional a
.\n
e.
b.
c.
d. O elétron sofre movimento harmônico simples (oscilações em torno do centro) quando está dentro da esfera (
e.