(Questão 05) O modelo de Thomson, conhecido como “pudim de ameixas”, supunha que o átomo era formado por uma carga positiva distribuída de forma homogênea num volume esférico de raio R e que nessa “massa” os elétrons estariam incrustados. Considere o modelo de Thomson para o hidrogênio e responda:
a. Qual é o campo elétrico a uma distância r quando r>R ?
b. Qual é o campo elétrico dentro do átomo, a uma distância r do centro?
c. Suponha que o elétron seja deslocado para uma distância r do centro. Qual é a força que age sobre ele?
d. Qual é o movimento do elétron quando ele é solto?
e. Sendo R=5,3 \times 10^{-11} \mathrm{~m} e m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, calcule a frequência de oscilação do elétron.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • O enunciado pede:
    a. O campo elétrico a uma distância r quando r>R.
    b. O campo elétrico para r<R (dentro do átomo).
    c. A força que age sobre o elétron quando ele está a uma distância r do centro.
    d. Que tipo de movimento o elétron descreve quando for solto (comentar o comportamento físico).
    e. Calcular numericamente a frequência de oscilação do elétron usando R=5{,}3\times10^{-11}\\ \mathrm{m} e m_e=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Informações do modelo (que vou usar):
    • A carga positiva total da “pudim” é +e (uma unidade elementar), distribuída uniformemente em uma esfera de raio R.
    • Há um elétron de carga q_e=-e dentro dessa esfera.
    • Vou usar constantes físicas conhecidas: e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e \epsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
A partir daqui começo a calcular cada item.

Passo 2

Campo elétrico para r>R (fora da esfera). Explicação e fórmula usada.
  • Ideia física: para uma distribuição esférica de carga com total +e, vista de fora a distribuição se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro (princípio que vem da Lei de Gauss ou do teorema de Coulomb para simetria esférica).
  • Aplicando a Lei de Gauss: escolha uma superfície gaussiana esférica de raio r>R. O fluxo elétrico é \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(4\pi r^2). A carga envolvida é Q_{\text{enc}}=+e. Pela Lei de Gauss,
E(4\pi r^2)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}=\frac{e}{\epsilon_0}.
  • Assim
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{r^2}\,\hat{r}\quad\text{para }r>R,
onde \hat{r} é o vetor radial unitário apontando para fora do centro.
Observação didática curta: esta é exatamente o campo de uma carga puntiforme +e colocada no centro; por isso fora da esfera não se “vê” a distribuição interna, apenas a carga total.

Passo 3

Campo elétrico para r<R (dentro da esfera). Explicação detalhada e dedução.
  • Como a carga positiva está distribuída uniformemente no volume da esfera, a densidade volumétrica de carga (constante) é
\rho=\frac{e}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}.
  • A carga contida numa esfera de raio r<R (a carga envolvida pela superfície gaussiana de raio r) é a densidade vezes o volume interno:
Q_{\text{enc}}=\rho\left(\tfrac{4}{3}\pi r^3\right)=e\frac{r^3}{R^3}.
  • Aplicando a Lei de Gauss numa superfície esférica de raio r:
E(4\pi r^2)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}=\frac{e}{\epsilon_0}\frac{r^3}{R^3}.
  • Daí
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e\,r}{R^3}\,\hat{r}\quad\text{para }r<R.
Comentário didático: o campo cresce linearmente com r dentro da esfera porque, ao aumentar o raio da gaussiana, a carga envolvida cresce como r^3 enquanto a área cresce como r^2, resultando em E\propto r.

Passo 4

Força sobre o elétron deslocado a uma distância r do centro.
  • Carga do elétron é q_e=-e. A força elétrica é \mathbf{F}=q_e\mathbf{E}.
  • Para r>R (fora), a força é
\mathbf{F}(r)=(-e)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{r^2}\,\hat{r}\right)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\,\hat{r}\quad (r>R).
Nesta região a força é atrativa (aponta para o centro) e varia como 1/r^2.
  • Para r<R (dentro), substituindo o campo interno:
\mathbf{F}(r)=(-e)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e\,r}{R^3}\,\hat{r}\right)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{R^3}\,r\,\hat{r}\quad (r<R).
  • Note que para r<R a força tem a forma
\mathbf{F}(r)=-k\,r\,\hat{r}, \qquad\text{com}\qquad k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{R^3}.
Isto é uma força restauradora proporcional a r, apontando para o centro.
Didática: comparar com a Lei de Hooke F=-k_{\text{mola}}x. Aqui surge uma constante efetiva k que depende de R e das constantes elétricas.

Passo 5

Tipo de movimento do elétron quando solto (interpretar a força obtida).
  • Para deslocamentos pequenos (e em todo o interior r<R) a força é linear em r e dirigida para o ponto de equilíbrio r=0. Isso caracteriza um movimento harmônico simples (MHS ou SHM).
  • Equação do movimento (uma dimensão radial para pequenos deslocamentos radiais):
m_e\ddot{r}=-k r,
com k definido acima.
  • A solução é oscilatória com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m_e}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{m_e R^3}}.
  • A frequência (ciclos por segundo) é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{m_e R^3}}.
Comentário motivador: portanto, no modelo de Thomson o elétron preso no “pudim” faz oscilações harmônicas ao redor do centro — o modelo explicava estabilidade qualitativamente, mas falhava em outros pontos (não solicitado aqui).

Passo 6

Cálculo numérico da frequência usando os dados fornecidos.
  • Vou calcular primeiro k:
k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{R^3}.
Usando e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \epsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, R=5{,}3\times10^{-11}\\ \mathrm{m}:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 8{,}987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
e^2=(1{,}602176634\times10^{-19})^2\approx 2{,}5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
R^3=(5{,}3\times10^{-11})^3\approx 1{,}48877\times10^{-31}\\ \mathrm{m^3}.
k\approx (8{,}987551792\times10^{9})\frac{2{,}5669699\times10^{-38}}{1{,}48877\times10^{-31}} \approx 1{,}55\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.
  • Agora \omega:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m_e}}=\sqrt{\frac{1{,}55\times10^{3}}{9{,}11\times10^{-31}}} \approx 4{,}13\times10^{16}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Finalmente a frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}\approx \frac{4{,}13\times10^{16}}{2\pi}\approx 6{,}57\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
(Aproximações numéricas exibidas; arredondei para três algarismos significativos.)

Resposta

a. \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{r^2}\,\hat{r}\quad(r>R)\n
b. \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e\,r}{R^3}\,\hat{r}\quad(r<R)\n
c. \displaystyle \mathbf{F}(r)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\,\hat{r}\quad(r>R) \quad e \quad \displaystyle \mathbf{F}(r)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{R^3}\,r\,\hat{r}\quad(r<R)\n
d. O elétron sofre movimento harmônico simples (oscilações em torno do centro) quando está dentro da esfera ( r<R), pois a força é restauradora e proporcional a r.\n
e. \displaystyle f\approx 6{,}57\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}

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