O operador \hat{A}, associado a uma observável tem dois auto-estados, \psi_{1} e \psi_{2} com auto-valores a_{1} e a_{2} respectivamente. A observável representada pelo operador \hat{B} tem dois auto-estados, \phi_{1} e \phi_{2} com auto-valores b_{1} e b_{2}. Os auto-estados estão relacionados por
a) O observável A é medido e o valor encontrado é a_{1}, qual o auto estado do sistema após a medida?
b) Se a medição de B for feita, quais os resultados possíveis e as probabilidades de cada um deles?
c) Logo após a medição de B, A é medido novamente, qual a probabilidade de medir a_{1} ?
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente:
Dois observáveis A e B com autovalores e autoestados:
Para A: autoestados \psi_{1} e \psi_{2} com autovalores a_{1} e a_{2}.
Para B: autoestados \phi_{1} e \phi_{2} com autovalores b_{1} e b_{2}.
A relação entre as bases é (peguei estes coeficientes do enunciado):\psi_{1}=\frac{1}{5}\bigl(3\phi_{1}-4\phi_{2}\bigr), \qquad \psi_{2}=\frac{1}{5}\bigl(4\phi_{1}-3\phi_{2}\bigr).
O problema pede três coisas:
a) Se mediram A e o resultado foi a_{1}, qual é o autoestado do sistema logo após a medida?
b) Se, a seguir, medirmos B (assumindo que o sistema está no estado obtido em (a)), quais são os resultados possíveis e as probabilidades de cada um?
c) Logo após essa medição de B, medimos A novamente: qual a probabilidade de obter a_{1} nessa segunda medição?
Passo 2
Conceito importante (postulado de medição) — explicação didática:
Quando se mede uma observável associada a um operador (como A) e obtém-se um autovalor (aqui a_{1}), o sistema “colapsa” para o autoestado correspondente desse autovalor (a não ser por uma fase global irrelevante).
Em símbolos: se a medida de A deu a_{1}, imediatamente após a medida o estado do sistema é \psi_{1} (assumindo que não há degenerescência).
Observação prática: o autoestado resultante deve estar normalizado. Se a forma dada do autoestado não estiver normalizada, deveria normalizar-se; aqui vemos que os coeficientes fornecidos já têm norma 1 (vou verificar adiante), então podemos usar diretamente \psi_{1}.
Aplicando ao caso: como a medida deu a_{1}, o estado do sistema imediatamente após a medida é
\psi_{1}.
Passo 3
Preparando para medir B: representação em bases e probabilidade de resultados — explicação didática:
Se o sistema está num estado |\Psi\rangle e queremos a probabilidade de obter o autovalor b_j do operador B cujo autoestado correspondente é |\phi_j\rangle, a probabilidade é o quadrado do módulo da amplitude de projeção:P(b_j)=\bigl|\langle \phi_j \mid \Psi\rangle\bigr|^{2}.
Aqui o estado atual é \psi_{1}, e as projeções sobre \phi_{1},\phi_{2} aparecem diretamente na expansão dada:\psi_{1}=\frac{1}{5}\bigl(3\phi_{1}-4\phi_{2}\bigr).Isso significa que as amplitudes são \langle \phi_{1}\mid \psi_{1}\rangle = \tfrac{3}{5} e \langle \phi_{2}\mid \psi_{1}\rangle = -\tfrac{4}{5} (assumindo que \{\phi_{1},\phi_{2}\} é uma base ortonormal).
Cálculo das probabilidades (mostrando contas):
Para b_{1}:P(b_{1})=\bigl|\langle \phi_{1}\mid \psi_{1}\rangle\bigr|^{2}=\left|\tfrac{3}{5}\right|^{2}=\tfrac{9}{25}.
Para b_{2}:P(b_{2})=\bigl|\langle \phi_{2}\mid \psi_{1}\rangle\bigr|^{2}=\left|\!-\tfrac{4}{5}\right|^{2}=\tfrac{16}{25}.
Verificação rápida: \tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}=\tfrac{25}{25}=1, ok — a expansão está normalizada.
Passo 4
O que acontece logo após a medição de B — explicação didática:
Quando medimos B e obtemos um dos autovalores b_j, o estado colapsa para o correspondente autoestado \phi_{j}.
Portanto, depois da medição de B:
Se saiu b_{1}, o sistema ficou em \phi_{1}.
Se saiu b_{2}, o sistema ficou em \phi_{2}.
Agora, para medir A novamente, precisamos das probabilidades condicionais
Note que \bigl|\langle \psi_{1}\mid \phi_{j}\rangle\bigr|^{2}=\bigl|\langle \phi_{j}\mid \psi_{1}\rangle\bigr|^{2} (o módulo é o mesmo). Já calculamos esses valores na Passo 3:
Probabilidade total de medir a_{1} após a medição de B — explicação didática e aplicação da regra da probabilidade total:
A medição de B tem duas saídas mutuamente exclusivas ( b_{1} ou b_{2} ). Pela regra da probabilidade total,P(a_{1})=P(b_{1})\,P(a_{1}\mid b_{1})+P(b_{2})\,P(a_{1}\mid b_{2}).
Substituindo os valores encontrados:P(a_{1})=\tfrac{9}{25}\cdot\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}\cdot\tfrac{16}{25} =\frac{81}{625}+\frac{256}{625}=\frac{337}{625}.
Em decimal (para intuição), \tfrac{337}{625}\approx 0,5392 (aproximadamente 53,92\%).
Interpretação rápida: não é garantido que ao medir A novamente volte-se com probabilidade 1 ao mesmo autovalor a_{1}, porque a medição de B perturbou o sistema (colapsou para \phi_{1} ou \phi_{2}), e essas não são autoestados de A.
Resposta
a) \psi_{1}=\dfrac{1}{5}\bigl(3\phi_{1}-4\phi_{2}\bigr)
b) b_{1} com probabilidade \dfrac{9}{25} b_{2} com probabilidade \dfrac{16}{25}