Questão 05. Mostre que a EDO é homogênea e encontre a solução.
d yd x=-4 x+3 y2 x+y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
dydx = -4x+3y2x+y
é homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. O conteúdo envolvido é o método de equações homogêneas, para o qual precisamos reconhecer que o quociente do lado direito depende apenas de y/x e aplicar a substituição y=ux.

Passo 2

Para verificar a homogeneidade, note que
-4x+3y2x+y = -xl(4+3(y/x)r)xl(2+(y/x)r) = -4+3u2+u,
onde u=y/x. Como o lado direito depende somente de u, a equação é homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição
y = ux Longrightarrow dydx = u + xdudx,
a equação torna-se
u + xdudx = -4+3u2+u

Passo 4

Isolando du/dx, obtemos
xdudx = -4+3u2+u - u = -4+3u + u(2+u)2+u = -u^2+5u+4u+2 = -(u+1)(u+4)u+2
Logo a equação é separável:
u+2(u+1)(u+4),du = -dxx

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, decompomos em frações parciais:
u+2(u+1)(u+4) = 1/3u+1 + 2/3u+4
Integrando ambos os lados,
integral!u+2(u+1)(u+4),du = 13ln|u+1| + 23ln|u+4| e integral!-dxx = -ln|x| + C

Passo 6

Multiplicando por 3 e reunindo logaritmos,
ln|u+1| + 2ln|u+4| = -3ln|x| + C' Longrightarrow lnl(|u+1|,|u+4|^2r) = lnl(|x|^-3r) + C'
Exponentiando e voltando a u=y/x, resulta
(u+1)(u+4)^2 = K,x^-3 Longrightarrow l(tfracyx+1r)l(tfracyx+4r)^2 = K,x^-3
Multiplicando ambos os lados por x^3,
(y+x)(y+4x)^2 = K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

boxed(y+x)(y+4x)^2 = K, KinR

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