Questão 05. Mostre que a EDO é homogênea e encontre a solução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
é homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. O conteúdo envolvido é o método de equações homogêneas, para o qual precisamos reconhecer que o quociente do lado direito depende apenas de
e aplicar a substituição
.
Passo 2
Para verificar a homogeneidade, note que
onde
. Como o lado direito depende somente de
, a equação é homogênea.
Passo 3
Fazendo a substituição
a equação torna-se
Passo 4
Isolando
, obtemos
Logo a equação é separável:
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo, decompomos em frações parciais:
Integrando ambos os lados,
Passo 6
Multiplicando por 3 e reunindo logaritmos,
Exponentiando e voltando a
, resulta
Multiplicando ambos os lados por
,
onde
é constante arbitrária.