Suponha que, para todo t, f(5 t, t^3)=arctg(t) é diferenciável.
a) Supondo que partial fpartial y(5,1)=116, calcule partial fpartial x(5,1).
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (5,1, f(5,1)).

Passo 1

Resumindo, temos f:R^2toR diferenciável e
f(5t,,t^3)=arctg(t)
O que precisamos usar é a regra da cadeia para obter uma relação entre as derivadas parciais de f e a derivada de arctg(t), e em seguida montar o plano tangente em (5,1,f(5,1)).

Passo 2

Defina g(t)=f(5t,,t^3). Pela regra da cadeia,
g'(t) =partial fpartial x(5t,,t^3)cdotd(5t)dt +partial fpartial y(5t,,t^3)cdotd(t^3)dt =5,partial fpartial x(5t,,t^3)+3t^2,partial fpartial y(5t,,t^3)
Como g(t)=arctg(t), temos
g'(t)=11+t^2

Passo 3

Em t=1 sabemos que partial fpartial y(5,1)=tfrac116. Logo,
11+1^2 =5,partial fpartial x(5,1)+3cdot1^2cdot116 ;Longrightarrow; 12 =5,partial fpartial x(5,1)+112 ;Longrightarrow; partial fpartial x(5,1)=-1

Passo 4

Para achar f(5,1), note que o par (5,1) corresponde a t=1, pois 5=5cdot1 e 1=1^3. Assim,
f(5,1)=arctg(1)=pi4
O plano tangente ao gráfico de f em (5,1,pi/4) é dado por
z - f(5,1) =partial fpartial x(5,1),(x-5) +partial fpartial y(5,1),(y-1),
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z - pi4 =-1,(x-5)+116,(y-1)

Resposta

a) partial fpartial x(5,1)=-1
b) z - pi4 = -,(x-5) + 116,(y-1)

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