( \mathbf{1 , 5} pts)Considere a série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}}
(a) Verifique se a série converge.
(b) Caso seja convergente, calcule a soma.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}}
e pede duas coisas:
(a) verificar se a série converge;
(b) caso convergente, calcular a soma.
Informações relevantes do enunciado:
  • O termo geral da série é \dfrac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • A série é uma soma infinita de termos positivos (cada termo é >0).

Passo 2

Primeiro simplifico o termo geral para ver sua forma:
\frac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}}=\frac{2^{n}}{10^{n}}+\frac{5^{n}}{10^{n}}=\left(\frac{2}{10}\right)^{n}+\left(\frac{5}{10}\right)^{n}.
Reduzindo as frações:
\left(\frac{2}{10}\right)^{n}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n},\qquad \left(\frac{5}{10}\right)^{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Portanto a série original pode ser escrita como soma de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 3

Vou usar a propriedade linear das séries: se as séries \sum a_n e \sum b_n convergem, então \sum (a_n+b_n) converge e
\sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n.
Logo basta estudar a convergência e a soma de cada uma das duas séries geométricas que apareceram.

Passo 4

Explico o que é uma série geométrica e sua soma (aula rápida e prática).
  • Uma série geométrica padrão é da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, onde r é a constante chamada razão.
  • Condição de convergência: a série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1.
  • Fórmula da soma (quando |r|<1): derive rápido:
    considere S=r+r^{2}+r^{3}+\cdots. Multiplicando por r rS=r^{2}+r^{3}+\cdots. Subtraindo, S-rS=r \quad\Rightarrow\quad S(1-r)=r \quad\Rightarrow\quad S=\frac{r}{1-r}.Aqui S é a soma da série e r é a razão. Exemplo rápido: se r=\tfrac{1}{3}, então \sum_{n=1}^\infty \left(\tfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{1/3}{1-1/3}=\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando ao primeiro somatório com r=\dfrac{1}{5}. Como \left|\dfrac{1}{5}\right|<1, a série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{1}{4}.
Mostrei cada passo da simplificação de frações para ficar bem claro.

Passo 6

Aplicando ao segundo somatório com r=\dfrac{1}{2}. Como \left|\dfrac{1}{2}\right|<1, a série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.

Passo 7

Como ambas as séries geométricas convergem (cada uma tem razão com módulo menor que 1), pela linearidade temos que a série original converge. Além disso, a soma total é a soma das duas somas obtidas.

Passo 8

Calculo final da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+5^{n}}{10^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} =\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}.

Resposta

(a) A série converge.
(b) \dfrac{5}{4}

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