Vou usar a propriedade linear das séries: se as séries \sum a_n e \sum b_n convergem, então \sum (a_n+b_n) converge e
\sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n.
Logo basta estudar a convergência e a soma de cada uma das duas séries geométricas que apareceram.
Passo 4
Explico o que é uma série geométrica e sua soma (aula rápida e prática).
Uma série geométrica padrão é da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, onde r é a constante chamada razão.
Condição de convergência: a série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1.
Fórmula da soma (quando |r|<1): derive rápido:
considere S=r+r^{2}+r^{3}+\cdots. Multiplicando por r dá rS=r^{2}+r^{3}+\cdots. Subtraindo,S-rS=r \quad\Rightarrow\quad S(1-r)=r \quad\Rightarrow\quad S=\frac{r}{1-r}.Aqui S é a soma da série e r é a razão. Exemplo rápido: se r=\tfrac{1}{3}, então \sum_{n=1}^\infty \left(\tfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{1/3}{1-1/3}=\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac{1}{2}.
Passo 5
Aplicando ao primeiro somatório com r=\dfrac{1}{5}. Como \left|\dfrac{1}{5}\right|<1, a série converge e
Como ambas as séries geométricas convergem (cada uma tem razão com módulo menor que 1), pela linearidade temos que a série original converge. Além disso, a soma total é a soma das duas somas obtidas.